8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-II-10-1

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2013 год


Вариант ФМШ 2013-II-10-1



  1. Решите неравенство: \[ \bigl|x-3\bigr| + 2\cdot\bigl|x+1\bigr| > 4x + 3. \]
  2. Решите неравенство: \[ \frac{(x-7)^3\cdot(x+3)^4\cdot(x-8)^2} {(9 - x^2)\cdot(21 - 3x)^4\cdot(x-9)} \;\ge\; 0. \]
  3. Многочлен $P(x)$ при делении на $(x-3)$ даёт в остатке 14, а при делении на $(x+5)$ — в остатке 6. Чему равен остаток от деления этого многочлена на $(x-3)\cdot(x+5)$?
  4. Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 3. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых 1:2. Найти площадь трапеции.
  5. Постройте график функции: \[ y = 2 \;-\; \frac{1}{\bigl|2x - 1\bigr|}. \]
  6. Какие условия при формулировке теорем называются необходимыми, а какие — достаточными? Привести пример теоремы, в которой сформулированные условия являются необходимыми, но не являются достаточными.
  7. Является ли число \[ \frac{9^{2013} - 7^{2014}}{10} \] целым? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ \bigl|x-3\bigr| + 2\cdot\bigl|x+1\bigr| > 4x + 3. \]
    Решение: Разобьём числовую ось на интервалы по точкам -1 и 3:
    1. Интервал \( x < -1 \):
    \(|x-3| = 3 - x\), \(|x+1| = -x - 1\)
    \(3 - x + 2(-x - 1) = 1 - 3x > 4x + 3 \Rightarrow -7x > 2 \Rightarrow x < -\frac{2}{7}\). Но пересечение с интервалом \(x < -1\) решений не даёт.
    2. Интервал \(-1 \le x < 3\):
    \(|x-3| = 3 - x\), \(|x+1| = x + 1\)
    \(3 - x + 2(x + 1) = x + 5 > 4x + 3 \Rightarrow -3x > -2 \Rightarrow x < \frac{2}{3}\). Решение интервала: \(-1 \le x < \frac{2}{3}\).
    3. Интервал \(x \ge 3\):
    \(|x-3| = x - 3\), \(|x+1| = x + 1\)
    \(x - 3 + 2(x + 1) = 3x - 1 > 4x + 3 \Rightarrow -x > 4 \Rightarrow x < -4\). Нет решений в этом интервале.
    Объединяя решения: \(-1 \le x < \frac{2}{3}\).
    Ответ: \(x \in [-1; \frac{2}{3})\).

  2. Решите неравенство: \[ \frac{(x-7)^3\cdot(x+3)^4\cdot(x-8)^2} {(9 - x^2)\cdot(21 - 3x)^4\cdot(x-9)} \;\ge\; 0. \]
    Решение: Определим критические точки числителя (x=7, x=-3, x=8) и знаменателя (x=-3, x=3, x=7, x=9). Проведём анализ знаков на интервалах:
    Интервалы: \((-\infty, -3)\), \((-3, 3)\), \((3, 7)\), \((7, 8)\), \((8, 9)\), \((9, +\infty)\).
    Учёт знаков:
    - \((-\infty, -3)\): числитель -, знаменатель -, \(\frac{-}{-} = +\) (верно).
    - \(-3 < x < 3\): числитель -, знаменатель -, \(\frac{-}{-} = +\) (верно).
    - \(3 < x < 7\): числитель -, знаменатель +, \(\frac{-}{+}\) = - (неверно).
    - \(7 < x < 8\): числитель +, знаменатель -, \(\frac{+}{-}\) = - (неверно).
    - \(8 < x < 9\): числитель +, знаменатель +, \(\frac{+}{+}\) = + (верно).
    Включая точки: - x=8 (ноль числителя) — включаем. - x=-3 не включаем (знаменатель ноль).
    Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup [8; 9)\).

  3. Многочлен \(P(x)\) при делении на \((x-3)\) даёт остаток 14, на \((x+5)\) — остаток 6. Найти остаток от деления на \((x-3)(x+5)\).
    Решение: По теореме Безу: \[ \begin{cases} P(3) = 14 \Rightarrow 3a + b = 14 \\ P(-5) = 6 \Rightarrow -5a + b = 6 \end{cases} \] Решим систему: \[ 8a = 8 \Rightarrow a = 1, \quad b = 14 - 3 = 11. \] Остаток: \(R(x) = x + 11\).
    Ответ: \(x + 11\).

  4. Дана равнобедренная трапеция с боковыми сторонами 3, вписанная в окружность. Средняя линия делит трапецию на части с отношением площадей 1:2. Найти площадь трапеции.
    Решение:
    Для вписанной трапеции: сумма оснований равна сумме боковых сторон ⇒ \(a + b = 6\), средняя линия 3. Отношение площадей новых трапеций: \[ \frac{a + 3}{b + 3} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2(a + 3) = b + 3 \Rightarrow b = 2a + 3. \] Из условия \(a + b = 6\): \[ a + 2a + 3 = 6 \Rightarrow 3a = 3 \Rightarrow a = 1, \, b = 5. \] Высота трапеции \(h = \sqrt{3^2 - \left(\frac{b - a}{2}\right)^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}\).
    Площадь: \(S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h = 3\sqrt{5}\).
    Ответ: \(3\sqrt{5}\).

  5. Построить график функции \(y = 2 - \frac{1}{|2x - 1|}\).
    Решение:
    Функция определена при \(x \ne \frac{1}{2}\). Для \(2x - 1 \geq 0\) (\(x \geq \frac{1}{2}\)): \[ y = 2 - \frac{1}{2x - 1}. \] Для \(2x - 1 < 0\) (\(x < \frac{1}{2}\)): \[ y = 2 - \frac{1}{(1 - 2x)}. \] Асимптоты: вертикальная \(x = \frac{1}{2}\), горизонтальная \(y = 2\). График симметричен относительно \(x = \frac{1}{2}\).
    Ответ: График имеет два гиперболических участка с асимптотой \(y = 2\) и разрывом при \(x = \frac{1}{2}\).

  6. Необходимые и достаточные условия. Пример теоремы.
    Решение:
    Необходимое условие — такое, которое должно выполняться для истинности утверждения.
    Достаточное условие — гарантирует истинность утверждения.
    Пример: *Если число делится на 6, то оно делится на 3*. Делимость на 3 — необходимое, но недостаточное условие делимости на 6.

  7. Проверить, является ли целым число \(\frac{9^{2013} - 7^{2014}}{10}\).
    Решение: Рассмотрим последние цифры:
    \(9^{2013}\): Начинается с 9: цикл последней цифры {9, 1} каждые 2 степени. \(2013\) нечётное ⇒ последняя цифра 9.
    \(7^{2014}\): Цикл {7, 9, 3, 1} каждые 4 степени. \(2014 \equiv 2 \mod 4\) ⇒ последняя цифра 9.
    Числитель: \(9 - 9 = 0 \mod 10\) ⇒ делится на 10. Число целое.
    Ответ: Да, является целым.
Материалы школы Юайти