8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-10-2

Сложность:
Дата экзамена: 2013
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2013 год


Вариант ФМШ 2013-10-2



  1. Решите неравенство: \[ (5x-1)\,\cdot\,\bigl(\sqrt{-x^2 + 4x - 4 + 2x + 4}\bigr)\;\ge\;0. \]
  2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{5x - 4 - x^2} \le 1,\\ x^2 - x - 2 < \lvert 5x - 3\rvert. \end{cases} \]
  3. Три числа, сумма которых равна 21, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 1, ко второму прибавить 1, а третье оставить без изменения, то получатся числа, составляющие в том же порядке арифметическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную геометрическую прогрессию.
  4. В треугольнике \(ABC\) сторона \(AB = 6\), \(BC = 8\), \(AC = 9\). Окружность, проходящая через точки \(A\) и \(C\), пересекает прямые \(BA\) и \(BC\) соответственно в точках \(K\) и \(L\), отличных от вершин треугольника. Отрезок \(KL\) касается окружности, вписанной в треугольник \(ABC\). Найдите длину отрезка \(KL\).
  5. Постройте график функции: \[ y = \bigl\lvert x^2 - 2x - 3\bigr\rvert + 1. \]
  6. Дана дала такое определение функции: «Функция – это зависимость \(y\) от \(x\)».
    1. Какое дополнительное условие нужно добавить к этой формулировке, чтобы получилось настоящее определение функции?
    2. Достаточно ли добавить к данной формулировке фразу «при которой \(y\) находится только с одной стороны от знака равенства», чтобы новая формулировка действительно определяла функцию?
  7. В коробке находится 5 кроликов и 6 морских свинок. Какова вероятность того, что из трёх наугад выбранных зверьков один окажется кроликом?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите неравенство: \[ (5x-1)\,\cdot\,\bigl(\sqrt{-x^2 + 6x}\bigr)\;\ge\;0. \] Решение:
    Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
    $-x^2 + 6x \ge 0 \Rightarrow x(x - 6) \le 0 \Rightarrow x \in [0;6]$.
    В этих пределах анализируем неравенство:
    Корень всегда неотрицателен. Поэтому:
    1. При $\sqrt{-x^2 + 6x} > 0$ (т.е. $x \in (0;6)$):
    $5x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{1}{5}$.
    2. При $\sqrt{-x^2 + 6x} = 0$ ($x=0$ или $x=6$):
    Левый множитель $(5x-1)$ оцениваем при этих x:
    При $x=0$: $(5\cdot0-1)\cdot0 = -1\cdot0 = 0$ (удовлетворяет).
    При $x=6$: $(5\cdot6-1)\cdot0 = 29\cdot0 = 0$ (удовлетворяет).
    Итоговое решение: $x \in [0;6]$ с учётом $x \ge \frac{1}{5}$ для ненулевых точек:
    $x \in \left[0; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{5};6\right] = [0;6]$.
    Ответ: $x \in [0;6]$.
  2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x}{5x - 4 - x^2} \le 1,\\ x^2 - x - 2 < \lvert 5x - 3\rvert. \end{cases} \] Решение:
    Преобразуем первое неравенство:
    $\frac{x}{-(x^2 -5x +4)} \le 1 \Rightarrow \frac{(x-2)^2}{-(x-1)(x-4)} \le 0$.
    Знаменатель: $- (x-1)(x-4) > 0 \Rightarrow x \in (1;4)$.
    Дробь $\le 0$ вне интервала $(1;4)$ (кроме x=2, где числитель равен 0):
    $x \in (-\infty;1) \cup (4;+\infty)$.

    Второе неравенство разбиваем:
    1) При $5x - 3 \ge 0$ ($x \ge \frac{3}{5}$):
    $x^2 -6x +1 < 0 \Rightarrow x \in \left(3 - 2\sqrt{2}; 3+2\sqrt{2}\right) \approx (-0,17;6,83)$.
    С учётом условия: $x \in [0,6;6,83)$.
    2) При $5x - 3 < 0$ ($x < \frac{3}{5}$):
    $x^2 +4x -5 < 0 \Rightarrow x \in (-5;1)$.
    Общее решение: $x \in (-5;6,83)$.

    Пересечение решений системы:
    $\left[(-\infty;1) \cup (4;+\infty)\right] \cap (-5;6,83) = (-5;1) \cup (4;6,83)$.
    Ответ: $x \in (-5;1) \cup (4;3+2\sqrt{2})$.
  3. Три числа, сумма которых равна 21, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. После изменений образуют арифметическую прогрессию. Найти исходные числа.
    Решение:
    Пусть числа: $b$, $br$, $br^2$ (сумма $b(1 + r + r^2) = 21$).
    После изменений: $(b-1)$, $(br +1)$, $br^2$ — арифметическая прогрессия.
    Условие для арифметической прогрессии:
    $2(br+1) = (b-1) + br^2 \Rightarrow br^2 - 2br + (b-3) = 0$.
    Из суммы геометрической прогрессии:
    $b = \frac{21}{1 + r + r^2}$.
    Подставляем $b$ в уравнение и решаем:
    Получаем квадратное уравнение для $r$: $6r^2 -15r +6 = 0$.
    Корни: $r=2$ (возрастающая прогрессия) и $r=0,5$ (отбрасываем).
    Тогда $b=3$, числа: $3$, $6$, $12$.
    Ответ: $3$, $6$, $12$.
  4. В треугольнике \(ABC\) найти длину отрезка \(KL\).
    Решение:
    Воспользуемся свойством касательной к вписанной окружности:
    Длина отрезка KL равна периметру треугольника ABC, делённому на 2.
    Периметр треугольника: $6 +8 +9 =23$.
    Ответ: $KL =12$.
  5. Постройте график функции: \[ y = \bigl\lvert x^2 - 2x - 3\bigr\rvert + 1. \] Решение:
    1. Постройте параболу $y = x^2 -2x -3$ (вершина в $(1; -4)$).
    2. Отразите части ниже оси OX (где $y <0$) симметрично вверх.
    3. Поднимите весь график на 1 единицу вверх.
    Ответ: График — «перевёрнутая» парабола между $x=-1$ и $x=3$, смещённая на +1 по оси OY.
  6. Определение функции:
    1. Нужно добавить: «причём каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$».
    2. Добавленной фразы недостаточно. Пример: уравнение окружности $x^2 + y^2=1$ не задаёт функцию, хотя $y$ стоит с одной стороны.
    Ответ: а) «каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$». б) Нет.
  7. Вероятность выбрать 1 кролика из 3 зверьков.
    Решение:
    Всего вариантов: $C_{11}^3 =165$.
    Благоприятные: $C_5^1 \cdot C_6^2 =5 \cdot15=75$.
    Вероятность: $\frac{75}{165} =\frac{5}{11}$.
    Ответ: $\frac{5}{11}$.
Материалы школы Юайти