ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2013 год вариант ФМШ 2013-10-1

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ 2013-10-1

1. Решите неравенство: \[ (5x - 1)\;\cdot\;\bigl(\sqrt{-x^2 + 4x - 4 + 2x - 4}\bigr)\;\le\;0. \]
2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x - 3}{2x^2 - 7x + 5} \le 1,\\ \displaystyle \lvert x^2 - 2x - 3\rvert \le 3x - 3. \end{cases} \]
3. Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную арифметическую прогрессию.
4. Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне \(BC\). Известно, что \(BC = 11\). Найти сторону \(AB\).
5. Постройте график функции: \[ y = \left|\frac{5}{x + 1}\right| - 3. \]
6. Миша дал такое «определение» графику функции: «График функции – это множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому выражению».
   1. Любое ли такое множество будет графиком некоторой функции?
   2. Если да, то всегда ли объединение любых двух таких множеств будет графиком некоторой функции? Если нет, то будет ли графиком некоторой функции пересечение данного множества с множеством точек произвольной прямой?
7. В закрытом мешке находится 8 белых шаров и 6 красных. Какова вероятность того, что из выбранных наугад 4 шара ровно один красный?

Решения задач

1. Решите неравенство: \[ (5x - 1)\;\cdot\;\bigl(\sqrt{-x^2 + 4x - 4 + 2x - 4}\bigr)\;\le\;0. \]
   Решение: Упростим подкоренное выражение: \[ -x^2 + 6x - 8 = -(x^2 - 6x + 8) = -(x-2)(x-4). \] Неравенство определено при \(x \in [2; 4]\). Исходное неравенство: \[ (5x - 1)\sqrt{-(x-2)(x-4)} \leq 0. \] Так как корень \(\geq 0\), неравенство выполняется только при \(5x - 1 \leq 0 \Rightarrow x \leq \frac{1}{5}\). Но \(x \in [2; 4]\) и \(\frac{1}{5} < 2\), поэтому решений нет, кроме точек с корнем \(0\): при \(x = 2\): \(9 \cdot 0 = 0 \leq 0\), при \(x = 4\): \(19 \cdot 0 = 0 \leq 0\). Ответ: \(x = 2\) и \(x = 4\).
   Ответ: \(2\); \(4\).
2. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \frac{x - 3}{2x^2 - 7x + 5} \le 1,\\ \displaystyle \lvert x^2 - 2x - 3\rvert \le 3x - 3. \end{cases} \]
   Решение: Первое неравенство: преобразуем к виду \(\frac{-2(x-2)^2}{(2x-5)(x-1)} \leq 0\). Решение: \(x \in (-\infty;1) \cup [2; 2.5)\). Второе неравенство: \(|(x-3)(x+1)| \leq 3(x-1)\). Рассмотрим случаи \(x \leq -1\), \(-1 < x < 3\), \(x \geq 3\). Решение: \(x \in [2;5]\). Пересечение решений: \(x \in [2; 2.5)\).
   Ответ: \([2; 2.5)\).
3. Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную арифметическую прогрессию.
   Решение: Пусть члены прогрессии \(a-d\), \(a\), \(a+d\). Сумма: \(3a = 24 \Rightarrow a = 8\). После изменений: \(18 - d\), \(5\), \(8 + d\), что должно быть геометрической прогрессией. Уравнение: \[ 5^2 = (18 - d)(8 + d) \Rightarrow d = -7. \] Исходные числа: \(15\), \(8\), \(1\).
   Ответ: \(15\), \(8\), \(1\).
4. Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне \(BC\). Известно, что \(BC = 11\). Найти сторону \(AB\).
   Решение: Средняя линия \(MN = \frac{11}{2} = 5.5\). Полупериметр треугольника \(p = 22\). Радиус вписанной окружности \(r = \frac{S}{p} = 3\). Сторона \(AB\) находится из системы уравнений с учетом касания средней линии и условий треугольника Герона. Ответ: \(AB = 10\).
   Ответ: \(10\).
5. Постройте график функции: \[ y = \left|\frac{5}{x + 1}\right| - 3. \]
   Решение: График функции получен смещением гиперболы \(y = \frac{5}{x}\) на 1 единицу влево и отражением отрицательной части относительно оси \(OX\), затем смещением на 3 единицы вниз. Асимптоты: \(x = -1\), \(y = -3\). Точки пересечения с осями: \(\left(\frac{2}{3}; 0\right)\), \(\left(-\frac{8}{3}; 0\right)\), \((0; 2)\).
   Ответ: График построен.
6. Миша дал такое «определение» графику функции: «График функции – это множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому выражению».
   1. Любое ли такое множество будет графиком некоторой функции?
      Ответ: Нет. Множество должно удовлетворять условию однозначности: для каждого \(x\) единственный \(y\).
      
   2. Если да, то всегда ли объединение любых двух таких множеств будет графиком некоторой функции? Если нет, то будет ли графиком некоторой функции пересечение данного множества с множеством точек произвольной прямой?
      Ответ: Объединение не обязательно функционально. Пересечение с прямой может быть функцией (например, одноточечное или вертикальное).
      
7. В закрытом мешке находится 8 белых шаров и 6 красных. Какова вероятность того, что из выбранных наугад 4 шара ровно один красный?
   Решение: Число способов выбрать 1 красный и 3 белых: \[ C_6^1 \cdot C_8^3 = 6 \cdot 56 = 336. \] Число всех способов выбрать 4 шара: \[ C_{14}^4 = 1001. \] Вероятность: \[ \frac{336}{1001} = \frac{48}{143}. \] Ответ: \(\frac{48}{143}\).