ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2012 год вариант ФМШ 2012-10-2

ФМШ МИЭМ

2012 год

Вариант ФМШ 2012-10-2

1. Упростить выражение: \[ \frac{9 - c^2}{c^3 + 27} \;\cdot\; \biggl( \frac{(c - 3)^4}{9 - 6c + c^2 + 3c} \biggr). \]
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 3x + 2 = 0,\\ (2x + 1)(x + 2) = 0. \end{cases} \]
3. Решить неравенство: \[ \frac{27}{x} \;>\; \sqrt{x}. \]
4. Вася добирается из дома до института за 45 минут. Из них 15 минут он идёт пешком, а остальное время едет на метро. Проснувшись утром, Вася обнаружил, что проспал. Подумав, он решил, что если будет бежать, то сможет выйти на 10 минут позже, чем обычно. Успеет ли Вася добраться до института вовремя, если бежит в 2 раза быстрее, чем идёт пешком? На сколько минут позже ему можно выходить из дома, чтобы точно не опоздать в институт?
5. Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. К окружностям проведена общая касательная:
   1. найти расстояние между точками касания окружностей;
   2. найти расстояния между всеми парами точек большей окружности, через которые проходят общие касательные, удовлетворяющие условиям задачи.
6. Построить график функции: \[ f(x) = -\frac{1}{(\sqrt{x})^2}. \] При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ a - 2x \;=\; -\frac{1}{(\sqrt{x})^2} \] имеет единственное решение?

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{9 - c^2}{c^3 + 27} \;\cdot\; \biggl( \frac{(c - 3)^4}{9 - 6c + c^2 + 3c} \biggr). \]
   Решение: Разложим числители и знаменатели на множители: \(9 - c^2 = (3 - c)(3 + c)\ ,\quad c^3 + 27 = (c + 3)(c^2 - 3c + 9)\) Знаменатель второго множителя: \(9 - 6c + c^2 + 3c = c^2 - 3c + 9\) Подставим в выражение: \[ \frac{(3 - c)(3 + c)}{(c + 3)(c^2 - 3c + 9)} \cdot \frac{(c - 3)^4}{c^2 - 3c + 9} = \frac{-(c - 3)}{c^2 - 3c + 9} \cdot \frac{(c - 3)^4}{c^2 - 3c + 9} = -\frac{(c - 3)^5}{(c^2 - 3c + 9)^2} \] Ответ: \(-\dfrac{(c - 3)^5}{(c^2 - 3c + 9)^2}\)
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + 3x + 2 = 0,\\ (2x + 1)(x + 2) = 0. \end{cases} \]
   Решение: Решим каждое уравнение отдельно: Первое уравнение: \(x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1; \quad x = -2\) Второе уравнение: \((2x + 1)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2}; \quad x = -2\) Общее решение системы: \(x = -2\) Ответ: \(x = -2\)
3. Решить неравенство: \[ \frac{27}{x} \;>\; \sqrt{x}. \]
   Решение: Область определения: \(x > 0\) Умножим обе части на \(x\) (положительный): \(27 > x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow x^{\frac{3}{2}} < 27\) Возведём в степень \(\frac{2}{3}\): \(x < 27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9\) С учётом области определения: \(0 < x < 9\) Ответ: \(x \in (0; 9)\)
4. Вася обычно тратит 15 минут пешком и 30 минут на метро. Если увеличить скорость бега вдвое, время пешком станет \( \frac{15}{2} = 7.5 \) минут. Если выйти позже на 10 минут, общее время составит \(7.5 + 30 + 10 = 47.5\) минут вместо обычных 45 ⇒ опоздание на \(2.5\) мин. Максимальное время выхода без опоздания: \(45 - 7.5 - 30 = 7.5\) минут позже. Ответ: Не успеет; можно опаздывать на \(7.5\) минут.
5. Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешне (расстояние между центрами \(5\)).
   1. Длина общей внешней касательной: \[ L = \sqrt{D^2 - (R - r)^2} = \sqrt{5^2 - (4 - 1)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \] Ответ: 4
   2. Расстояние между точками касания на большей окружности: Угол между отрезками к точкам касания: \[ \theta = 2 \arcsin{\left(\frac{L/2}{D}\right)} = 2 \arcsin{\left(\frac{2}{5}\right)} \] Хорда на большей окружности (радиус \(4\)): \[ d = 2 \cdot 4 \cdot \sin{\left(\frac{\theta}{2}\right)} = 8 \cdot \frac{2}{5} = \frac{16}{5} = 3.2 \] Ответ: \( \frac{16}{5} \)
6. График функции \( f(x) = -\frac{1}{x} \) для \(x > 0\). Уравнение \( a - 2x = -\frac{1}{x} \Rightarrow a = 2x - \frac{1}{x} \). Функция \(a = 2x - \frac{1}{x}\) строго возрастает для \(x > 0\) ⇒ каждому \(a\) соответствует единственное \(x\).
   
   Ответ: \(a \in \mathbb{R}\)