ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2012 год вариант ФМШ 2012-10-1

ФМШ МИЭМ

2012 год

Вариант ФМШ 2012-10-1

1. Упростить выражение: \[ \frac{b^2 - 4}{8 - b^3} \;\cdot\; \biggl(\frac{(2 + b)^4}{b^2 + 4b + 4} \;-\; 2b\biggr). \]
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0,\\ (2x - 1)(x - 2) = 0. \end{cases} \]
3. Решить неравенство: \[ \frac{8}{x} \;<\; \sqrt{x}. \]
4. Павел добирается из дома до института за 50 минут. Из них 20 минут он идёт пешком, а остальное время едет на метро. Вечером Павел подвернул ногу и выяснил, что скорость его передвижения пешком уменьшилась в 2 раза. Успеет ли Павел добраться до института вовремя, если следующим утром выйдет из дома на 15 минут раньше, чем обычно? За какое время ему необходимо выходить из дома, чтобы точно не опоздать в институт?
5. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. К окружностям проведена общая касательная:
   1. найти расстояние между точками касания обеих окружностей;
   2. найти расстояния между всеми парами точек меньшей окружности, через которые проходят общие касательные, удовлетворяющие условиям задачи.
6. Построить график функции \[ f(x) = \frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2}. \] При каких значениях параметра \(a\) уравнение \[ 2a - x \;=\; \frac{1}{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2} \] имеет единственное решение?

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{b^2 - 4}{8 - b^3} \cdot \left(\frac{(2 + b)^4}{b^2 + 4b + 4} - 2b\right) \] Решение:
   Раскладываем числитель и знаменатель дроби:
   \(\frac{b^2 - 4}{8 - b^3} = \frac{(b-2)(b+2)}{-(b-2)(b^2 + 2b + 4)} = -\frac{b+2}{b^2 + 2b + 4}\)
   Упрощаем выражение в скобках:
   \(\frac{(2 + b)^4}{b^2 + 4b + 4} - 2b = (b+2)^2 - 2b = b^2 + 4b + 4 - 2b = b^2 + 2b + 4\)
   Перемножаем результаты:
   \(-\frac{b+2}{\cancel{b^2 + 2b + 4}} \cdot \cancel{(b^2 + 2b + 4)} = -(b + 2)\)
   Ответ: \(-(b + 2)\).
   
   
2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 3x + 2 = 0,\\ (2x - 1)(x - 2) = 0. \end{cases} \] Решение:
   Решаем первое уравнение:
   \(x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 1\) или \(x = 2\)
   Решаем второе уравнение:
   \((2x - 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\) или \(x = 2\)
   Общее решение системы: \(x = 2\).
   Ответ: \(x = 2\).
   
   
3. Решить неравенство: \[ \frac{8}{x} < \sqrt{x} \] Решение:
   ОДЗ: \(x > 0\).
   Переносим все в левую часть и умножаем на \(x\):
   \(8 8 \Rightarrow x > 8^{2/3} = 4\)
   Ответ: \(x \in (4; +\infty)\).
   
   
4. Павел обычно тратит \(20\) минут пешком и \(30\) минут на метро. После травмы скорость ходьбы уменьшилась вдвое:
   Новое время пешком: \(20 \cdot 2 = 40\) минут.
   Общее время после травмы: \(40 + 30 = 70\) минут.
   При выходе на \(15\) минут раньше: \(50 + 15 = 65\) минут < 70 \(\Rightarrow\) опоздает.
   Чтобы не опоздать, необходимо выходить на \(70 - 50 = 20\) минут раньше.
   Ответ: не успеет; выходить на \(20\) минут раньше.
   
   
5. Окружности радиусов \(4\) и \(9\) касаются внешним образом:
   1. Расстояние между центрами: \(4 + 9 = 13\).
      Длина общей внешней касательной:
      \(L = \sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = 12\)
      Ответ: \(12\).
   2. Центральный угол между точками касания на меньшей окружности:
      \(\cos \theta = \frac{9 - 4}{13} = \frac{5}{13}\)
      Длина хорды между точками:
      \(2 \cdot 4 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = \frac{16\sqrt{13}}{13}\)
      Ответ: \(\frac{16\sqrt{13}}{13}\).
   
   
   
6. График функции \(f(x) = \frac{1}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{x}\) при \(x > 0\).
   Уравнение \(2a - x = \frac{1}{x}\):
   \(2a = x + \frac{1}{x}\). Минимум правой части: \(2\) при \(x = 1\).
   Единственное решение при \(2a = 2 \Rightarrow a = 1\).
   Ответ: \(a = 1\).