8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2010 год

Сложность:
Дата экзамена: 2010
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2010 год


Вариант ФМШ2010-10-1



  1. Упростить выражение: $$ \left(1-\frac{a^{2}-9 b^{2}}{a^{2}-6 a b+9 b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{a}{b}-3\right) . $$
  2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2,5 раза больше скорости друга.
  3. Построить график функции: $y=\frac{x^{2}-2 x}{|x-1|-1}$
  4. В треугольнике $A B C$ точка $K$ - середина стороны $A C$. Отрезок $B K$ пересекается с медианой $A M$ в точке $P .$ Найти площадь треугольника $A B P$, если площадь треугольника $A B C$ равна $9 .$
  5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: $\frac{x}{x^{2}-4} \leq 0,|2-x| \leq 0$.
  6. Решить уравнение: $(x-5)^{4} \cdot \sqrt{4-x}=0$
  7. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} a x+3 y=5 \\ 3 x+a y=-5 \end{array}\right. $$ имеет ровно одно решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение:
    $\left(1-\frac{a^{2}-9 b^{2}}{a^{2}-6 a b+9 b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{a}{b}-3\right)$
    Решение:
    Разложим числитель и знаменатель первой дроби:
    $\frac{a^{2}-9b^{2}}{a^{2}-6ab+9b^{2}} = \frac{(a-3b)(a+3b)}{(a-3b)^2} = \frac{a+3b}{a-3b}$
    Подставим в исходное выражение:
    $\left(1 - \frac{a+3b}{a-3b}\right) \cdot \left(\frac{a-3b}{b}\right) = \frac{(a-3b)-(a+3b)}{a-3b} \cdot \frac{a-3b}{b} = \frac{-6b}{a-3b} \cdot \frac{a-3b}{b} = -6$
    Ответ: $-6$.

  2. Расстояние между своим домиком и домиком Винни-Пуха Пятачок проходит на 3 минуты быстрее, чем Винни. Сколько времени тратит на дорогу Пятачок, если его скорость в 2,5 раза больше скорости друга.
    Решение:
    Пусть скорость Винни-Пуха $v$ км/мин, тогда скорость Пятачка $2,5v$ км/мин. Обозначим расстояние между домиками за $S$.
    Время Винни-Пуха: $\frac{S}{v}$ мин. Время Пятачка: $\frac{S}{2,5v}$ мин.
    Разница во времени: $\frac{S}{v} - \frac{S}{2,5v} = 3$ мин
    $\frac{S}{v}(1 - 0,4) = 3 \Rightarrow \frac{0,6S}{v} = 3 \Rightarrow \frac{S}{v} = 5$ мин (время Винни)
    Время Пятачка: $\frac{5}{2,5} = 2$ мин
    Ответ: 2 минуты.

  3. Построить график функции: $y=\frac{x^{2}-2 x}{|x-1|-1}$
    Решение:
    Область определения: $|x-1| -1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ и $x \neq 2$
    Рассмотрим два случая:
    • При $x \geq 1$: $|x-1| = x-1$, тогда $y = \frac{x(x-2)}{x-2} = x$ (при $x \neq 2$)
    • При $x < 1$: $|x-1| = 1-x$, тогда $y = \frac{x(x-2)}{-x} = -x + 2$
    График состоит из:
    • Прямой $y = x$ для $x \geq 1$, кроме точки $x=2$ (выколотая точка)
    • Прямой $y = -x + 2$ для $x < 1$
    Ответ: График состоит из двух лучей с выколотой точкой (2,2).

  4. В треугольнике $ABC$ точка $K$ - середина стороны $AC$. Отрезок $BK$ пересекается с медианой $AM$ в точке $P$. Найти площадь треугольника $ABP$, если площадь треугольника $ABC$ равна $9$.
    Решение:
    Медианы делят друг друга в отношении 2:1. Так как $K$ — середина $AC$, $BK$ — медиана. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1.
    Площадь треугольника $ABM$ (где $M$ — середина $BC$): $\frac{9}{2} = 4,5$
    Точка $P$ делит $AM$ в отношении 2:1, поэтому площадь $ABP$ составляет $\frac{2}{3}$ от $ABM$:
    $S_{ABP} = \frac{2}{3} \cdot 4,5 = 3$
    Ответ: 3.

  5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: $\frac{x}{x^{2}-4} \leq 0$, $|2-x| \leq 0$.
    Решение:
    Первое неравенство:
    $\frac{x}{(x-2)(x+2)} \leq 0$
    Метод интервалов: $x \in (-2, 0] \cup (2, +\infty)$
    Второе неравенство:
    $|2-x| \leq 0 \Rightarrow x = 2$ (не входит в ОДЗ первого неравенства)
    Объединение решений: $x \in (-2, 0] \cup (2, +\infty)$
    Ответ: $(-2, 0] \cup (2, +\infty)$.

  6. Решить уравнение: $(x-5)^{4} \cdot \sqrt{4-x}=0$
    Решение:
    Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
    • $(x-5)^4 = 0 \Rightarrow x = 5$ (не удовлетворяет ОДЗ корня: $4 - 5 = -1 < 0$)
    • $\sqrt{4-x} = 0 \Rightarrow x = 4$
    Ответ: 4.

  7. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} a x+3 y=5 \\ 3 x+a y=-5 \end{array}\right. $$ имеет ровно одно решение. \\ Решение: \\ Система имеет единственное решение, когда определитель матрицы коэффициентов не равен нулю: \\ $\begin{vmatrix} a & 3 \\ 3 & a \end{vmatrix} = a^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm3$ \\ Ответ: Все действительные числа, кроме $a = 3$ и $a = -3$.
Материалы школы Юайти