8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2010 год

Сложность:
Дата экзамена: 2010
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2010 год


Вариант ФМШ2010-10-2



  1. Упростить выражение: $$ \left(1-\frac{a^{2}-8 a b+16 b^{2}}{a^{2}-16 b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{a}{b}+4\right) . $$
  2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка Винни-Пух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
  3. Построить график функции: $y=\frac{4 x-x^{2}}{2-|x-2|}$
  4. В треугольнике $A B C$ точка $P$ - середина стороны $A B$. Отрезок $P C$ пересекается с медианой $B N$ в точке $S .$ Найти площадь треугольника $B P S$, если площадь треугольника $A B C$ равна $12 .$
  5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: $\frac{x}{9-x^{2}} \leq 0,|x-3| \leq 0$.
  6. Решить уравнение: $(x-3)^{4} \cdot \sqrt{x-2}=0$
  7. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x-a y=-3 \\ a x-2 y=3 \end{array}\right. $$ имеет ровно одно решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение:
    $\left(1-\frac{a^{2}-8 a b+16 b^{2}}{a^{2}-16 b^{2}}\right) \cdot\left(\frac{a}{b}+4\right)$ .
    Решение: Разложим числитель и знаменатель первой дроби на множители:
    $\frac{a^{2}-8ab+16b^{2}}{a^{2}-16b^{2}} = \frac{(a-4b)^2}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{a-4b}{a+4b}$.
    Тогда выражение примет вид:
    $\left(1 - \frac{a-4b}{a+4b}\right) \cdot \frac{a+4b}{b} = \frac{(a+4b) - (a-4b)}{a+4b} \cdot \frac{a+4b}{b} = \frac{8b}{a+4b} \cdot \frac{a+4b}{b} = 8$.
    Ответ: 8.

  2. Расстояние между своим домиком и домиком Пятачка ВинниПух проходит на 4 минуты медленнее, чем Пятачок. Сколько времени тратит на дорогу Винни, если его скорость в 3 раза меньше, чем скорость друга?
    Решение: Пусть скорость Пятачка равна $v$ км/мин, тогда скорость Винни — $\frac{v}{3}$ км/мин. Обозначим расстояние между домиками за $S$. Время Пятачка: $t_1 = \frac{S}{v}$, время Винни: $t_2 = \frac{S}{\frac{v}{3}} = \frac{3S}{v}$. По условию:
    $\frac{3S}{v} - \frac{S}{v} = 4$ мин $\Rightarrow \frac{2S}{v} = 4$ мин $\Rightarrow \frac{S}{v} = 2$ мин.
    Тогда время Винни: $\frac{3S}{v} = 3 \cdot 2 = 6$ мин.
    Ответ: 6 минут.

  3. Построить график функции: $y=\frac{4 x-x^{2}}{2-|x-2|}$
    Решение: Рассмотрим два случая раскрытия модуля:
    1) $x \geq 2$: $|x-2| = x-2$, тогда знаменатель $2 - (x-2) = 4 - x$.
    $y = \frac{4x - x^2}{4 - x} = \frac{-x(x-4)}{4 - x} = x$.
    2) $x < 2$: $|x-2| = 2 - x$, тогда знаменатель $2 - (2 - x) = x$.
    $y = \frac{4x - x^2}{x} = 4 - x$ (при $x \neq 0$).
    Итоговый график:
    - При $x < 2$ (кроме $x=0$): прямая $y = 4 - x$.
    - При $x \geq 2$ (кроме $x=4$): прямая $y = x$.
    Ответ: График состоит из двух прямых с разрывами в точках $x=0$ и $x=4$.

  4. В треугольнике $A B C$ точка $P$ - середина стороны $A B$. Отрезок $P C$ пересекается с медианой $B N$ в точке $S .$ Найти площадь треугольника $B P S$, если площадь треугольника $A B C$ равна $12 .$
    Решение: Используем свойства медиан. Медиана $BN$ делит треугольник $ABC$ на две равные части площадью $6$. Точка $S$ делит медиану $BN$ в отношении $2:1$ (считая от вершины $B$). Площадь треугольника $BPS$ составляет $\frac{1}{3}$ от площади треугольника $BPC$, который равен $\frac{1}{2}$ площади $ABC$. Таким образом:
    $S_{BPS} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 = 2$.
    Ответ: 2.

  5. Найти все значения переменной $x$, удовлетворяющие хотя бы одному неравенству: $\frac{x}{9-x^{2}} \leq 0,|x-3| \leq 0$.
    Решение:
    1) $\frac{x}{9-x^{2}} \leq 0$: Решаем методом интервалов. Критические точки: $x = -3, 0, 3$. Решение: $x \in (-\infty; -3) \cup [0; 3)$.
    2) $|x-3| \leq 0$: Решение только $x = 3$.
    Объединяя решения: $x \in (-\infty; -3) \cup [0; 3]$.
    Ответ: $(-\infty; -3) \cup [0; 3]$.

  6. Решить уравнение: $(x-3)^{4} \cdot \sqrt{x-2}=0$
    Решение: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
    1) $(x-3)^4 = 0 \Rightarrow x = 3$.
    2) $\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x = 2$.
    Проверка области определения: $\sqrt{x-2}$ требует $x \geq 2$. Оба корня удовлетворяют условию.
    Ответ: 2; 3.

  7. При каких значениях параметра $a$ система уравнений $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x-a y=-3 \\ a x-2 y=3 \end{array}\right. $$ имеет ровно одно решение. \\ Решение: Система имеет единственное решение, если определитель матрицы коэффициентов не равен нулю: \\ $\begin{vmatrix} 2 & -a \\ a & -2 \end{vmatrix} = (-4) - (-a^2) = a^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow a \neq \pm 2$. \\ При $a = 2$ или $a = -2$ уравнения становятся пропорциональными с несовпадающими свободными членами, что приводит к противоречию. \\ Ответ: $a \in \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$.
Материалы школы Юайти