ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2005 год вариант ФМШ 200510-II-3
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2005 год
Вариант ФМШ 200510-II-3
- Решить уравнение: \[ \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} \;+\; \frac{x^3 + 64}{x^2 + 5x + 4} \;=\; 8. \]
- Найти все решения неравенства \[ \frac{4}{x - 3} \;\ge\; -2 \] на интервале \(x\in(-8;20]\).
- Построить график функции: \[ y^2 + 5y - x + 6 \;=\; 0. \]
- Найти площадь треугольника \(ABC\), если его вершины имеют координаты \[ A(-1;-3),\quad B(2;-1),\quad C(-2;5). \]
- Двигаясь на катере, путешественник должен преодолеть \(184\) км. Сколько дней продлится путешествие, если в последний день будет преодолено \(16\) км, а в каждый предыдущий день на \(2\) км больше?
- Два автобуса выехали одновременно из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу с постоянными скоростями \(60\) км/ч и \(40\) км/ч соответственно. Найти расстояние между пунктами \(A\) и \(B\), если через \(45\) минут после выезда расстояние между автобусами составило \(10\) км.
- Решить систему неравенств: \[ \begin{cases} |x - 4| + |8 - x| - |x + 7| \;\ge\; -1,\\ x^2 < 9. \end{cases} \]
- В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность радиуса \(4\), причём её центр \(O\) лежит на отрезке \(BD\). Найти площадь четырёхугольника, если \(OB = 5\), \(CB = 7\).
- Найти все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение \[ \frac{x^2 - ax - 3x + 2a + 2}{x + 2} \;=\; 0 \] имеет единственный корень.
- Построить множество точек плоскости \(xOy\), удовлетворяющих хотя бы одному из следующих уравнений, неравенств или систем: \[ \begin{gathered} x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0,\\ x^2 + y^2 + 2x - 6y + 6 = 0,\\ x^2 + y^2 + 2x - 12y + 36 = 0,\\ x^2 + y^2 + 4x - 6y + 24 = 0,\\ x^2 + y^2 - 4x - 6y + 12 = 0,\\ \bigl(x + \tfrac32\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{13}{2}\bigr)^2 \le 0,\\ \bigl(x + \tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y - \tfrac{13}{2}\bigr)^2 \le 0,\\ \{\,y = 6,\;-{\tfrac52}\le x\le -1\},\\ \{\,y = \tfrac{11}{2},\;-{\tfrac32}\le x\le -{\tfrac12}\},\\ \{-2\le x\le 0,\;7\le y\le 9\}. \end{gathered} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решить уравнение:
\[
\frac{x^3 - 1}{x^2 - 1} + \frac{x^3 + 64}{x^2 + 5x + 4} = 8.
\]
Решение: Разложим числители и знаменатели дробей: \[ \frac{(x-1)(x^2 + x + 1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{(x+4)(x^2 - 4x + 16)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1} + \frac{x^2 - 4x + 16}{x + 1}. \]
После упрощения уравнение принимает вид: \[ \frac{2x^2 - 3x + 17}{x + 1} = 8 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 11x + 9 = 0. \]
Корни квадратного уравнения: \[ D = 121 - 72 = 49; \quad x = \frac{11 \pm 7}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 4.5 \;\text{(корень } x = 1 \text{ исключается)}. \]
Ответ: $\frac{9}{2}$. - Найти все решения неравенства
\[
\frac{4}{x - 3} \ge -2
\]
на интервале \(x\in(-8;20]\).
Решение:- При \( x > 3 \): умножение без изменения знака: \[ 4 \ge -2(x - 3) \quad \Rightarrow \quad x \ge 1 \quad \Rightarrow \quad x \in (3;20]. \]
- При \( x < 3 \): умножение с изменением знака: \[ 4 \le -2(x - 3) \quad \Rightarrow \quad x \le 1 \quad \Rightarrow \quad x \in (-8;1]. \]
Ответ: \( (-8;1] \cup (3;20] \). - Построить график функции:
\[
y^2 + 5y - x + 6 = 0.
\]
Решение: Преобразуем уравнение относительно \( x \): \[ x = y^2 + 5y + 6 = (y + 2)(y + 3). \]
График представляет параболу, ветви направлены вправо, вершина в точке \( (-0.25; -2.5) \).
Ответ: Парабола \( x = (y + 2)(y + 3) \), вершина в \( (-0.25; -2.5) \). - Найти площадь треугольника \(ABC\), если его вершины имеют координаты
\[
A(-1;-3),\; B(2;-1),\; C(-2;5).
\]
Решение: По формуле площади через координаты вершин: \[ S = \frac{1}{2} \left| (-1)(-1 - 5) + 2(5 + 3) + (-2)(-3 + 1) \right| = \frac{1}{2} \left| 6 + 16 + 4 \right| = 13. \]
Ответ: 13. - Двигаясь на катере, путешественник должен преодолеть \(184\) км. Сколько дней продлится путешествие, если в последний день будет преодолено \(16\) км, а в каждый предыдущий день на \(2\) км больше?
Решение: Пусть \( n \) — количество дней. Сумма арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(16 + (16 + 2(n-1)))}{2} = n^2 + 15n = 184. \] \[ n^2 + 15n - 184 = 0 \quad \Rightarrow \quad D = 961;\; n = \frac{-15 + 31}{2} = 8. \]
Ответ: 8 дней. - Два автобуса выехали одновременно из пунктов \(A\) и \(B\) навстречу друг другу с постоянными скоростями \(60\) км/ч и \(40\) км/ч соответственно. Найти расстояние между пунктами \(A\) и \(B\), если через \(45\) минут после выезда расстояние между автобусами составило \(10\) км.
Решение: Общий пройденный путь за 0.75 часа: \[ (60 + 40) \cdot 0.75 = 75\;\text{км}. \]
Расстояние между пунктами: \(75 \pm 10\) км.
Ответ: 85 км или 65 км. - Решить систему неравенств:
\[
\begin{cases}
|x - 4| + |8 - x| - |x + 7| \ge -1,\\
x^2 < 9.
\end{cases}
\]
Решение: При \( x \in (-3;3) \): \[ (4 - x) + (8 - x) - (x + 7) = 5 - 3x \ge -1 \quad \Rightarrow \quad x \le 2. \]
Ответ: \( x \in (-3; 2] \). - В четырёхугольник \(ABCD\) вписана окружность радиуса \(4\), причём её центр \(O\) лежит на отрезке \(BD\). Найти площадь четырёхугольника, если \(OB = 5\), \(CB = 7\).
Решение: Площадь четырёхугольника с вписанной окружностью: \[ S = r \cdot p = 4 \cdot (a + b + c + d)/2. \] Из свойств касательных и условия: \[ S = 4 \cdot (OB + OD) = 4 \cdot (5 + 3) = 32. \] Ответ: 32. - Найти все значения параметра \(a\), при каждом из которых уравнение
\[
\frac{x^2 - ax - 3x + 2a + 2}{x + 2} = 0
\]
имеет единственный корень.
Решение: Разложим числитель: \( (x - 2)(x - (a + 1)) \). Условия существования корней:- При \( a = 1 \): Кратный корень \( x = 2 \).
- При \( a = -3 \): Корень \( x = -2 \) исключается, остается \( x = 2 \).
- Построить множество точек плоскости \(xOy\), удовлетворяющих хотя бы одному из следующих уравнений, неравенств или систем:
- Окружности: центры в \((-1,-2)\), \((-1,3)\), \((-1,6)\), \((2,3)\); радиусы 3, 2, 1, 1.
- Мнимые окружности: не изображаются.
- Точки: \((-1.5, 6.5)\) и \((-0.5, 6.5)\).
- Отрезки: \( y = 6 \) (\(-2.5 \le x \le -1\)), \( y = 5.5 \) (\(-1.5 \le x \le -0.5 \)), прямоугольник \([-2, 0] \times [7, 9]\).
Материалы школы Юайти