8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2005 год вариант ФМШ 200510-II-2

Сложность:
Дата экзамена: 2005
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2005 год


Вариант ФМШ 200510-II-2



  1. Упростить выражение: \[ \Bigl( b : \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} \;-\; a\;\cdot\;\frac{a + 3b}{a^2 - b^2} \Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{2b}{a + b} - 1\Bigr). \]
  2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 0,\\ x^3 - x^2 + 2 = 0. \end{cases} \]
  3. Хорды \(AB\) и \(BC\) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \(AC\), не содержащей точку \(B\), если \(AB = 5\), \(BC = 12\).
  4. Решить неравенство: \[ (x^2 - 6x + 9)\,\bigl(x + 5\bigr)\;\le\;0. \]
  5. Из пункта \(A\) в пункт \(B\) по озеру вышел теплоход с постоянной скоростью \(40\) км/ч. Через \(15\) минут после этого из пункта \(B\) в пункт \(A\) вышел катер с постоянной скоростью \(30\) км/ч. На сколько позже пришёл катер в пункт \(A\), чем теплоход в пункт \(B\), если они встретились через \(3\) часа после выхода катера? (Ответ записать в часах и минутах.)
  6. Построить график функции: \[ f(x) \;=\; \frac{(x + 1)\,(x^2 - x - 2)}{x - 2}. \]
  7. Сумма семи членов геометрической прогрессии равна \(129\), а четвёртый, третий и пятый её члены составляют, кроме того, арифметическую прогрессию. Найти геометрическую прогрессию.
  8. В равнобедренный треугольник со сторонами \(5, 5\) и \(8\) вписан прямоугольник так, что одна из его сторон расположена на стороне основания, а две вершины — на боковых сторонах треугольника. Найти, какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник.
  9. Построить множество точек плоскости \(xOy\), удовлетворяющих системе неравенств: \[ \begin{cases} y \;\ge\; \dfrac{x + 3}{x + 2},\\ \lvert x + 1\rvert \;\le\; 2. \end{cases} \]
  10. Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ a \;=\; \frac{4x + 11}{x^2 + 4x + 5} \] имеет решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение: \[ \Bigl( b : \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} \;-\; a\;\cdot\;\frac{a + 3b}{a^2 - b^2} \Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{2b}{a + b} - 1\Bigr). \] Решение:
    Разберем выражение по частям.
    1. Упростим первую дробь: \[ b : \frac{a^3 + b^3}{a^2 - ab + b^2} = b \cdot \frac{a^2 - ab + b^2}{(a + b)(a^2 - ab + b^2)} = \frac{b}{a + b}. \] 2. Упростим второе слагаемое: \[ a \cdot \frac{a + 3b}{a^2 - b^2} = a \cdot \frac{a + 3b}{(a - b)(a + b)} = \frac{a(a + 3b)}{(a - b)(a + b)}. \] 3. Вычтем второе слагаемое из первого: \[ \frac{b}{a + b} - \frac{a(a + 3b)}{(a - b)(a + b)} = \frac{b(a - b) - a(a + 3b)}{(a + b)(a - b)} = \frac{ab - b^2 - a^2 - 3ab}{(a + b)(a - b)} = \frac{-a^2 - 2ab - b^2}{(a + b)(a - b)} = -\frac{(a + b)^2}{(a + b)(a - b)} = -\frac{a + b}{a - b}. \] 4. Упростим множитель: \[ \frac{2b}{a + b} - 1 = \frac{2b - (a + b)}{a + b} = \frac{b - a}{a + b}. \] 5. Перемножим результаты: \[ -\frac{a + b}{a - b} \cdot \frac{b - a}{a + b} = -\frac{(a + b)(-1)(a - b)}{(a - b)(a + b)} = 1. \] Ответ: 1.

  2. Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 = 0,\\ x^3 - x^2 + 2 = 0. \end{cases} \] Решение:
    1. Решим первое уравнение: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3, \; x_2 = -1. \] 2. Подставим корни во второе уравнение:
    При \(x = 3\): \[ 3^3 - 3^2 + 2 = 27 - 9 + 2 = 20 \neq 0 \Rightarrow \text{не подходит}. \] При \(x = -1\): \[ (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \Rightarrow \text{подходит}. \] Ответ: \(x = -1\).

  3. Хорды \(AB\) и \(BC\) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \(AC\), если \(AB = 5\), \(BC = 12\). Решение:
    1. По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\).
    2. Диаметр окружности \(d = AC = 13\), радиус \(R = \frac{13}{2}\).
    3. Центральный угол дуги \(AC\) равен \(180^\circ\), так как \(AC\) — диаметр.
    4. Длина дуги: \[ L = \pi R = \frac{13}{2} \pi. \] Ответ: \(\frac{13}{2} \pi\).

  4. Решить неравенство: \[ (x^2 - 6x + 9)(x + 5) \le 0. \] Решение:
    1. Разложим квадратный трёхчлен: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \ge 0. \] 2. Неравенство принимает вид: \[ (x - 3)^2(x + 5) \le 0. \] 3. Решение: При \(x = 3\) выражение равно нулю; При \(x < -5\) оба множителя положительны; При \(-5 \le x 3\) оба множителя положительны.
    4. Учитывая равенство нулю при \(x = -5\) и \(x = 3\): \[ x \in [-5; +\infty), \text{но} (x - 3)^2(x + 5) \le 0 \Rightarrow x \in [-5; 3]. \] Ответ: \(x \in [-5; 3]\).

  5. Теплоход и катер встретились через 3 часа после выхода катера. Катер вышел на 15 минут позже теплохода. Расстояние между пунктами А и В равно \(S\).
    Решение: 1. Пусть \(S\) — расстояние между А и В. 2. Время движения теплохода до встречи: \(3 ч + 15 мин = 3,25 ч\). 3. Пройденный путь теплоходом: \(40 \cdot 3,25 = 130 км\). 4. Пройденный путь катером: \(30 \cdot 3 = 90 км\). 5. Полное расстояние \(S = 130 + 90 = 220 км\). 6. Время прибытия теплохода в В: \[ \frac{220}{40} = 5,5 \; ч = 5 \text{ ч } 30 \text{ мин}. \] 7. Время движения катера до А: \[ \frac{220}{30} \approx 7 \text{ ч } 20 \text{ мин}. \] 8. Разница во времени: \[ 7 \text{ ч } 20 \text{ мин} - 5 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 50 \text{ мин}. \] Ответ: 1 час 50 минут.

  6. Построить график функции: \[ f(x) = \frac{(x + 1)(x^2 - x - 2)}{x - 2}. \] Решение: 1. Упростим числитель: \[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1). \] 2. Функция принимает вид: \[ f(x) = \frac{(x + 1)(x - 2)(x + 1)}{x - 2} = (x + 1)^2 \quad (x \ne 2). \] 3. График — парабола \(y = (x + 1)^2\) с выколотой точкой при \(x = 2\). Ответ: График параболы с вершиной в (-1, 0) и выколотой точкой (2, 9).

  7. Найти геометрическую прогрессию, где сумма семи членов равна 129, а третий, четвёртый и пятый члены образуют арифметическую прогрессию. Решение:
    1. Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель. 2. Сумма семи членов: \[ S_7 = b_1 \frac{q^7 - 1}{q - 1} = 129. \] 3. Условие арифметической прогрессии для \(b_3, b_4, b_5\): \[ 2b_4 = b_3 + b_5 \Rightarrow 2b_1 q^3 = b_1 q^2 + b_1 q^4 \Rightarrow 2q = 1 + q^2 \Rightarrow q = 1. \] Но при \(q = 1\) прогрессия имеет все члены равными, тогда сумма \(7b_1 = 129 \Rightarrow b_1 = \frac{129}{7}\). Проверим условие арифметической прогрессии — выполняется, так как все члены равны. Ответ: \(b_n = \frac{129}{7}\) (постоянная последовательность).

  8. Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5, 8. Решение: 1. Основание треугольника 8, высота: \[ h = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3. \] 2. Обозначим высоту прямоугольника \(y\), тогда его основание \(x = \frac{8}{3}(3 - y)\) из подобия треугольников. 3. Площадь прямоугольника: \[ S(y) = x \cdot y = \frac{8}{3}(3 - y) \cdot y = \frac{8}{3}(3y - y^2). \] 4. Максимум достигается при \(y = \frac{3}{2}\): \[ S_{max} = \frac{8}{3} \cdot \left(3 \cdot \frac{3}{2} - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) = 6. \] Ответ: 6.

  9. Построить множество точек: \[ \begin{cases} y \ge \frac{x + 3}{x + 2},\\ |x + 1| \le 2. \end{cases} \] Решение: 1. Второе неравенство: \(-3 \le x \le 1\). 2. Первое неравенство: \[ y \ge 1 + \frac{1}{x + 2} \quad (x \ne -2). \] 3. Область: точки выше гиперболы \(y = 1 + \frac{1}{x + 2}\) в интервале \(x \in [-3; 1]\) исключая \(x = -2\). Ответ: Область между \(x = -3\) и \(x = 1\), выше гиперболы.

  10. Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ a = \frac{4x + 11}{x^2 + 4x + 5}. \] имеет решение. Решение: 1. Функция \(f(x) = \frac{4x + 11}{x^2 + 4x + 5}\). 2. Найдём экстремумы \(f'(x) = 0\): \[ f'(x) = \frac{4(x^2 + 4x + 5) - (4x + 11)(2x + 4)}{(x^2 + 4x + 5)^2} = 0. \] 3. После упрощения: \[ -4x^2 - 22x - 24 = 0 \Rightarrow x = -3, \; x = -2. \] 4. Значения функции в точках: \[ f(-3) = \frac{-12 + 11}{9 - 12 + 5} = \frac{-1}{2} = -0,5; \] \[ f(-2) = \frac{-8 + 11}{4 - 8 + 5} = \frac{3}{1} = 3. \] 5. Предел при \(x \to \pm\infty\): \(a \to 0\). Ответ: \(a \in [-0,5; 3]\).
Материалы школы Юайти