ФМШ МИЭМ из 9 в 10 класс 2005 год вариант ФМШ 200510-II-1
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2005 год
Вариант ФМШ 200510-II-1
- Упростить выражение: \[ \Bigl(a : \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} \;+\; \frac{b\,\bigl(b - 3a\bigr)}{a^2 - b^2}\Bigr) \;\cdot\; \Bigl(\frac{2a}{\,a - b\,} - 1\Bigr). \]
- Решить систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 = 0,\\ x^3 - 2x^2 + 1 = 0. \end{cases} \]
- Хорды \(AB\) и \(BC\) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \(AC\), содержащей точку \(B\), если \(AB = 3\), \(BC = 4\).
- Решить неравенство: \[ \bigl(x^2 + 10x + 25\bigr)\,\bigl(x - 7\bigr)\;\ge\;0. \]
- Из пункта \(A\) в пункт \(B\) выехал автомобилист с постоянной скоростью \(80\) км/ч. Через \(20\) минут после этого из пункта \(B\) в пункт \(A\) выехал мотоциклист с постоянной скоростью \(60\) км/ч. На сколько позже приехал мотоциклист в пункт \(A\), чем автомобилист в пункт \(B\), если они встретились через \(2\) часа после выезда автомобиля? (Ответ записать в часах и минутах.)
- Построить график функции \[ f(x) = \frac{(x - 1)\,\bigl(x^2 + x - 2\bigr)}{x + 2}. \]
- Сумма пяти членов геометрической прогрессии равна \(44\), а третий, второй и четвёртый её члены, кроме того, образуют арифметическую прогрессию. Найти геометрическую прогрессию.
- В равнобедренный треугольник со сторонами \(13\), \(13\) и \(24\) вписан прямоугольник так, что одна из его сторон расположена на основании, а две вершины — на боковых сторонах треугольника. Найти наибольшую возможную площадь этого прямоугольника.
- Построить множество точек плоскости \(xOy\), удовлетворяющих системе неравенств: \[ \begin{cases} y \le \dfrac{x - 1}{x - 2},\\ \lvert x - 1\rvert \le 2. \end{cases} \]
- Найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \[ a = \frac{6x + 1}{x^2 + 2x + 5} \] имеет решение.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростить выражение:
\[
\Bigl(a : \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}
\;+\;
\frac{b\,\bigl(b - 3a\bigr)}{a^2 - b^2}\Bigr)
\;\cdot\;
\Bigl(\frac{2a}{\,a - b\,} - 1\Bigr).
\]
Решение:
Упростим выражение по шагам:
\[
a : \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2} = a \cdot \frac{a^2 + ab + b^2}{(a - b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{a}{a - b}
\]
Второе слагаемое:
\[
\frac{b(b - 3a)}{a^2 - b^2} = \frac{b(b - 3a)}{(a - b)(a + b)} = -\frac{b(b - 3a)}{(a + b)(b - a)}.
\]
Сумма первых двух частей:
\[
\frac{a}{a - b} - \frac{b(b - 3a)}{(a^2 - b^2)} = \frac{a(a + b) - b(b - 3a)}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + ab - b^2 + 3ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - b^2 + 4ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a + 2b)^2 - 5b^2}{(a^2 - b^2)}.
\]
Упростим третью часть:
\[
\frac{2a}{a - b} - 1 = \frac{2a - (a - b)}{a - b} = \frac{a + b}{a - b}.
\]
Произведение упрощенных частей:
\[
\frac{a^2 - b^2 + 4ab}{a^2 - b^2} \cdot \frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + 2b)^2 - 5b^2}{(a - b)(a + b)} \cdot \frac{a + b}{a - b} = \frac{(a + 2b)^2 - 5b^2}{(a - b)^2}.
\]
Окончательный ответ:
\[
\boxed{\frac{(a + 2b)^2}{(a - b)^2}}.
\]
- Решить систему уравнений:
\[
\begin{cases}
x^2 - 4x + 3 = 0,\\
x^3 - 2x^2 + 1 = 0.
\end{cases}
\]
Решение:
Корни первого уравнения: \(x = 1\) и \(x = 3\).
Проверим их во втором уравнении:
- При \(x = 1\): \(1 - 2 + 1 = 0\) — подходит.
- При \(x = 3\): \(27 - 18 + 1 = 10 \neq 0\) — не подходит.
Решение системы: \((1; 0)\).
Ответ: \(x = 1\).
- Хорды \(AB\) и \(BC\) окружности перпендикулярны. Найти длину дуги \(AC\), содержащей точку \(B\), если \(AB = 3\), \(BC = 4\).
Решение:
По теореме Пифагора \(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 5\).
Радиус окружности \(R = \frac{AC}{2} = \frac{5}{2}\) (так как угол ABC — прямой и опирается на диаметр).
Центральный угол, соответствующий дуге \(AC\): \(180^\circ\).
Длина дуги: \(\frac{180^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi R = \pi \cdot \frac{5}{2} = \frac{5\pi}{2}\).
Ответ: \(\frac{5\pi}{2}\).
- Решить неравенство:
\[
\bigl(x^2 + 10x + 25\bigr)\,\bigl(x - 7\bigr)\;\ge\;0.
\]
Решение:
Факторизуем выражение:
\[
(x + 5)^2(x - 7) \ge 0.
\]
Корни: \(x = -5\) (двойной), \(x = 7\).
Метод интервалов:
- При \(x < -5\): \((-)^2(-) = (-)\).
- При \(-5 < x 7\): \((+)^2(+) = (+)\).
Учитывая равенство нулю: \(x = -5\), \(x \ge 7\).
Ответ: \(x = -5\), \(x \ge 7\).
- Автомобиль выехал из А в B со скоростью 80 км/ч. Через 20 минут мотоциклист выехал из B в A со скоростью 60 км/ч. Встретились через 2 часа после выезда автомобиля. Найти разницу времени прибытия.
Решение:
Путь автомобиля до встречи: \(80 \cdot 2 = 160\) км.
Время мотоциклиста до встречи: \(2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}\) ч.
Путь мотоциклиста: \(60 \cdot \frac{5}{3} = 100\) км.
Общее расстояние: \(160 + 100 = 260\) км.
Время автомобиля до B: \(\frac{260}{80} = 3.25\) ч = 3 ч 15 мин.
Время мотоциклиста до A: \(\frac{260}{60} ≈ 4.333\) ч = 4 ч 20 мин.
Разница: \(4 ч 20 мин - 3 ч 15 мин = 1 ч 5 мин\).
Ответ: 1 час 5 минут.
- Построить график функции:
\[
f(x) = \frac{(x - 1)(x^2 + x - 2)}{x + 2}.
\]
Решение:
Упростим выражение:
\[
\frac{(x - 1)(x + 2)(x - 1)}{x + 2} = (x - 1)^2 \quad \text{при} \quad x \neq -2.
\]
Функция совпадает с параболой \(y = (x - 1)^2\), кроме точки \(x = -2\), где есть разрыв (вертикальная асимптота).
Ответ: График параболы с выколотой точкой при \(x = -2\).
- Сумма пяти членов геометрической прогрессии равна 44. Третий, второй и четвёртый члены образуют арифметическую прогрессию. Найти прогрессию.
Решение:
Пусть \(b_1 = a\), знаменатель \(q\). Тогда:
- \(S_5 = a\frac{q^5 - 1}{q - 1} = 44\),
- Условие арифметической прогрессии: \(2b_2 = b_3 + b_4 \Rightarrow 2aq = aq^2 + aq^3\) → \(2 = q + q^2\) → \(q^2 + q - 2 = 0\) → \(q = 1\) или \(q = -2\).
При \(q = -2\): \(S_5 = a\frac{(-2)^5 - 1}{-2 - 1} = a\frac{-33}{-3} = 11a = 44\) → \(a = 4\).
Прогрессия: \(4, -8, 16, -32, 64\).
Ответ: \(4, -8, 16, -32, 64\).
- Найти наибольшую площадь прямоугольника в равнобедренном треугольнике со сторонами 13, 13, 24.
Решение:
Высота треугольника: \(h = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5\).
Пусть высота прямоугольника \(y\), основание \(x\). Из подобия:
\[
\frac{5 - y}{5} = \frac{x}{24} \quad ⇒ \quad x = \frac{24}{5}(5 - y).
\]
Площадь: \(S = x \cdot y = \frac{24}{5}(5y - y^2)\).
Максимум достигается при \(y = 2.5\). Тогда \(x = 12\), \(S = 12 \cdot 2.5 = 30\).
Ответ: 30.
- Построить множество точек:
\[
\begin{cases}
y \le \dfrac{x - 1}{x - 2},\\
|x - 1| \le 2.
\end{cases}
\]
Решение:
Область \(|x - 1| \le 2\) → \(x ∈ [-1, 3]\).
Функция \(y = \frac{x - 1}{x - 2}\) имеет вертикальную асимптоту \(x = 2\).
При \(x 2\): гипербола выше оси.
Ответ: Объединение областей \(x ∈ [-1, 2)\) и \(x ∈ (2, 3]\) с соответствующими ограничениями.
- Найти все значения параметра \(a\): \[ a = \frac{6x + 1}{x^2 + 2x + 5}. \] Решение: Решаем уравнение относительно \(x\): \[ ax^2 + (2a - 6)x + 5a - 1 = 0. \] Дискриминант: \[ D = (2a - 6)^2 - 4a(5a - 1) = 4a^2 - 24a + 36 - 20a^2 + 4a = -16a^2 - 20a + 36. \] Условие \(D \ge 0\): \[ -16a^2 - 20a + 36 \ge 0 \quad ⇒ \quad a ∈ \left[-2.25; 1\right]. \] Ответ: \(a ∈ [-2.25; 1]\).
Материалы школы Юайти