8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2019 год вариант ФМШ 2019-9-2

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Сложность:
Дата экзамена: 2019
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2019 год


Вариант ФМШ 2019-9-2



  1. Решите уравнение: \[ \frac{x}{y} \;-\; \frac{7 + x}{x^2 - 5x} \;-\; \frac{7x - x^2}{7 - x} \;-\; \frac{x^2 - 3x}{x - 3} \;+\; \frac{x + 3}{x^2 + 3x} \;-\; \frac{1 + x}{x + 2} \;=\; 0. \]

  2. Рассмотрим часть плоскости, ограниченную некоторой геометрической фигурой, и нарисуем окружность, которая целиком лежит в этой части плоскости. Может ли радиус такой окружности быть сколь угодно большим? Может ли площадь круга, ограниченного этой окружностью, быть больше площади исходной геометрической фигуры? Ответы обосновать.

  3. Хомячок по ночам бегает в колесе. Сделав пробежку продолжительностью 2–3 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–4 раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. Сколько километров может пробежать хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра, если диаметр колеса 18 см, а за одну пробежку колесо делает 100–120 полных оборотов? Каковы будут минимальная и максимальная возможные скорости хомячка?

  4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения значения \(b\) на 5 (при сохранении того же \(k\)) площадь треугольника уменьшилась в 4 раза. Чему может быть равно исходное значение \(b\)? Будет ли оно зависеть от коэффициента \(k\)?

  5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на число, кратное 3.

  6. Дан угол \(\angle A_{1}O A_{2}\). Построим угол \(\angle A_{1}O A_{3}\), биссектрисой которого является \(O A_{2}\), затем угол \(\angle A_{1}O A_{4}\), биссектрисой которого является \(O A_{3}\), и так далее. Всегда ли \(n\)-й луч \(O A_{n+1}\) не будет совпадать ни с одним из предыдущих? Если нет, то найдите все такие случаи.

  7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(3 - x)^2}{(x^2 - 4x + 3)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(4 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle \bigl(4 - 3x - x^6\bigr)\,\sqrt{x + 1}\,(3 - x) \;\le\;0. \end{cases} \]
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \frac{x}{x} - \frac{7 + x}{x(x - 5)} - \frac{7x - x^2}{7 - x} - \frac{x^2 - 3x}{x - 3} + \frac{x + 3}{x(x + 3)} - \frac{1 + x}{x + 2} = 0 \] Решение: Упростим каждое слагаемое:
    • $\frac{x}{x} = 1$ при $x \neq 0$
    • $\frac{7x - x^2}{7 - x} = \frac{-x(x - 7)}{-(x - 7)} = x$ при $x \neq 7$
    • $\frac{x^2 - 3x}{x - 3} = \frac{x(x - 3)}{x - 3} = x$ при $x \neq 3$
    • $\frac{x + 3}{x(x + 3)} = \frac{1}{x}$ при $x \neq -3$
    Уравнение принимает вид: \[ 1 - \frac{7 + x}{x(x - 5)} - x - x + \frac{1}{x} - \frac{1 + x}{x + 2} = 0 \] После упрощения: \[ 1 - 2x + \frac{1}{x} - \frac{7 + x}{x(x - 5)} - \frac{1 + x}{x + 2} = 0 \] Общий знаменатель: $x(x - 5)(x + 2)$. После преобразований получаем: \[ x = 2 \] Проверка показывает, что $x = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
    Ответ: $x = 2$.

  2. Рассмотрим часть плоскости, ограниченную некоторой геометрической фигурой. Может ли радиус вписанной окружности быть сколь угодно большим? Может ли её площадь превысить площадь фигуры?
    Решение:
    1. Нет, радиус ограничен размерами фигуры. Например, в прямоугольнике максимальный радиус равен половине меньшей стороны.
    2. Нет, площадь круга всегда меньше площади ограничивающей фигуры, так как круг целиком внутри неё.
    Ответ: Оба ответа отрицательны.

  3. Хомячок бегает в колесе диаметром 18 см.
    Решение:
    • Длина окружности колеса: $0,18\pi \approx 0,5655$ м
    • За пробежку (2-3 мин): $100 \cdot 0,5655 = 56,55$ м (мин), $120 \cdot 0,5655 = 67,86$ м (макс)
    • Цикл (бег + отдых): мин. 2.5 мин, макс. 4.5 мин
    • Количество циклов за 6 часов (360 мин): от 80 до 144
    • Общее расстояние: $56,55 \cdot 80 = 4524$ м (4,5 км), $67,86 \cdot 144 = 9771$ м (9,8 км)
    • Скорости: мин. $56,55/180 \approx 0,314$ м/с, макс. $67,86/120 \approx 0,5655$ м/с
    Ответ: 4,5–9,8 км; 0,314–0,5655 м/с.

  4. Линейная функция $y = kx + b$ образует треугольник с осями. После уменьшения $b$ на 5 площадь уменьшилась в 4 раза.
    Решение:
    • Исходная площадь: $\frac{b^2}{2|k|}$
    • Новая площадь: $\frac{(b - 5)^2}{2|k|} = \frac{1}{4} \cdot \frac{b^2}{2|k|}$
    • Уравнение: $4(b - 5)^2 = b^2 \Rightarrow 3b^2 - 40b + 100 = 0$
    • Корни: $b = 10$ и $b = \frac{10}{3}$
    Ответ: $b = 10$ или $\frac{10}{3}$; не зависит от $k$.

  5. Множество точек, где $||x| - |y|| = 3n$, $n \in \mathbb{Z}$.
    Решение: Семейство линий $|x| - |y| = \pm3, \pm6, ...$ образует «ступенчатые» диагонали. График состоит из областей между параллельными прямыми с шагом 3.

  6. Построение углов с биссектрисами. Всегда ли $OA_{n+1}$ новый луч?
    Ответ: Нет, не всегда. Если начальный угол равен $360^\circ \cdot \frac{m}{2^n - 1}$ ($m,n \in \mathbb{N}$), то через $n$ шагов луч совпадёт с одним из предыдущих. В общем случае — не совпадает.

  7. Система неравенств: \[ \begin{cases} \sqrt{\frac{(x^4 - 1)(3 - x)^2}{(x^2 - 4x + 3)(1 - x)}} + \frac{(x + 2)(2x - 1)}{x(4 - x)} > 0, \\ (4 - 3x - x^6)\sqrt{x + 1}(3 - x) \le 0 \end{cases} \] Решение:
    1. Второе неравенство:
      • $\sqrt{x + 1} \ge 0$ при $x \ge -1$
      • $3 - x \ge 0$ при $x \le 3$
      • $4 - 3x - x^6 \le 0$ при $x \ge 1$ (анализ функции)
      Решение: $x \in [-1; 1] \cup \{3\}$

    2. Первое неравенство на этом интервале:
      • При $x \in (-1; 1)$ выражение упрощается и выполняется
      • При $x = 3$ неравенство не определено
    Ответ: $x \in (-1; 1]$
Материалы школы Юайти