ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2019 год вариант ФМШ 2019-9-1

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-9-1

1. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x}{x - 1} \;-\;\frac{x + 1}{x^2 + x} \;+\;\frac{5 + x}{5x + x^2} \;-\;\frac{5x - x^2}{5 - x} \;=\;\frac{x}{3 + x} \;-\;\frac{3x - x^2}{3 - x} \;-\;\frac{x^2 - 7x}{x - 7} \;+\;\frac{x + 7}{x^2 + 7x}. \]
   
   
2. Рассмотрим часть плоскости, ограниченную некоторой геометрической фигурой, и нарисуем окружность, которая не будет иметь общих точек с этой частью плоскости. Всегда ли радиус такой окружности можно сделать сколь угодно большим? Всегда ли можно нарисовать указанную окружность так, чтобы площадь круга, ограниченного этой окружностью, была больше площади исходной части плоскости? Ответы обосновать.
   
   
3. Хомячок по ночам бегает в колесе. Сделав пробежку продолжительностью 1–2 минуты, он отдыхает. Затем снова бежит и опять отдыхает. Время отдыха в 2–3 раза меньше, чем время только что сделанной пробежки. Сколько километров может пробежать хомячок с 0 часов ночи до 6 часов утра, если диаметр колеса 18 см, а за одну пробежку колесо делает 60–80 полных оборотов? Каковы будут минимальная и максимальная возможные скорости хомячка?
   
   
4. Часть графика линейной функции \[ y = kx + b \] вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения значения \(b\) на 5 (значение \(k\) при этом осталось прежним) площадь треугольника увеличилась в 4 раза. Чему может быть равно исходное значение \(b\)? Будет ли зависеть исходное значение \(b\) от величины коэффициента \(k\)?
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются на число, кратное 2.
   
   
6. Дан угол \(\angle A_{1}O A_{2}\). Построим угол \(\angle A_{1}O A_{3}\), биссектрисой которого является \(O A_{2}\), затем угол \(\angle A_{1}O A_{4}\), биссектрисой которого является \(O A_{3}\). Может ли возникнуть ситуация, когда лучи \(O A_{2}, O A_{3}, O A_{4}\) совпадут с какими-либо из предыдущих? Если да, то найдите все такие случаи.
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \displaystyle \sqrt{\frac{(x^4 - 1)\,(2 - x)^2}{(x^2 - 3x + 2)\,(1 - x)}} \;+\; \frac{(x + 2)\,(2x - 1)}{x\,(3 - x)} \;>\;0, \\[1em] \displaystyle (6 - 5x - x^6)\,\sqrt{x + 1}\,\bigl(2 - x\bigr) \;\le\;0. \end{cases} \]

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{x^2 - x}{x - 1} \;-\;\frac{x + 1}{x^2 + x} \;+\;\frac{5 + x}{5x + x^2} \;-\;\frac{5x - x^2}{5 - x} \;=\;\frac{x}{3 + x} \;-\;\frac{3x - x^2}{3 - x} \;-\;\frac{x^2 - 7x}{x - 7} \;+\;\frac{x + 7}{x^2 + 7x} \] Решение: Упростим обе части уравнения, сокращая дроби: Левая часть: \[ \frac{x(x-1)}{x-1} - \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x+5}{x(x+5)} - \frac{x(5-x)}{5-x} = x - \frac{1}{x} + \frac{1}{x} - x = 0 \] Правая часть: \[ \frac{x}{x+3} - \frac{x(3-x)}{3-x} - \frac{x(x-7)}{x-7} + \frac{x+7}{x(x+7)} = \frac{x}{x+3} - x - x + \frac{1}{x} = \frac{x}{x+3} - 2x + \frac{1}{x} \] Уравнение принимает вид: \[ 0 = \frac{x}{x+3} - 2x + \frac{1}{x} \] Решаем полученное уравнение: \[ \frac{x}{x+3} + \frac{1}{x} = 2x \quad \Rightarrow \quad \frac{x^2 + x + 3}{x(x+3)} = 2x \] \[ x^2 + x + 3 = 2x^2(x+3) \quad \Rightarrow \quad 2x^3 + 5x^2 - x - 3 = 0 \] Подбором находим корень \(x = 1\). Разложив на множители: \[ (x-1)(2x^2 + 7x + 3) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1; \quad x = \frac{-7 \pm \sqrt{37}}{4} \] Проверка ОДЗ: \(x \neq \pm1, 0, \pm3, 5, -5, 7, -7\). Корни \(x = 1\) и \(x = -3\) не входят в ОДЗ. Ответ: \(\boxed{\frac{-7 + \sqrt{37}}{4}}\) и \(\boxed{\frac{-7 - \sqrt{37}}{4}}\).
   
   
2. Всегда ли радиус окружности можно сделать сколь угодно большим? Всегда ли площадь круга может превысить площадь исходной фигуры? Решение: 1. Если исходная фигура ограничена, то можно построить окружность произвольного большого радиуса вне её. Если фигура неограниченна (например, полуплоскость), радиус ограничен. 2. Если исходная фигура имеет конечную площадь, то площадь круга можно сделать больше. Если фигура имеет бесконечную площадь — нет. Ответ: - Нет, не всегда (зависит от ограниченности фигуры). - Да, если исходная фигура имеет конечную площадь.
   
   
3. Сколько километров пробежит хомячок за 6 часов? Минимальная и максимальная скорости. Решение: Длина окружности колеса: \(L = \pi \cdot 0.18 \approx 0.5655\) м. Цикл (бег + отдых): - Минимальный цикл: 1 мин бег + 0.5 мин отдых = 1.5 мин - Максимальный цикл: 2 мин бег + 0.666 мин отдых ≈ 2.666 мин Количество циклов за 360 мин: - Минимум: \(360 / 2.666 \approx 135\) - Максимум: \(360 / 1.5 = 240\) Пробег за цикл: - Минимум: \(60 \cdot 0.5655 \approx 33.93\) м - Максимум: \(80 \cdot 0.5655 \approx 45.24\) м Общий пробег: - Минимум: \(135 \cdot 33.93 \approx 4.58\) км - Максимум: \(240 \cdot 45.24 \approx 10.86\) км Скорости: - Минимальная: \(33.93 / 120 \approx 0.283\) м/с ≈ 1.02 км/ч - Максимальная: \(45.24 / 60 \approx 0.754\) м/с ≈ 2.71 км/ч Ответ: - Пробег: от \(\boxed{4.6}\) км до \(\boxed{10.9}\) км - Скорости: от \(\boxed{1.02}\) км/ч до \(\boxed{2.71}\) км/ч
   
   
4. Найдите исходное значение \(b\). Зависит ли \(b\) от \(k\)? Решение: Исходная площадь: \(S = \frac{b^2}{2|k|}\) Новая площадь: \(4S = \frac{(b+5)^2}{2|k|}\) Уравнение: \[ (b+5)^2 = 4b^2 \quad \Rightarrow \quad 3b^2 - 10b - 25 = 0 \] Корни: \(b = 5\) и \(b = -\frac{5}{3}\) Ответ: \(b = \boxed{5}\) или \(b = \boxed{-\frac{5}{3}}\). Не зависит от \(k\).
   
   
5. Изобразите множество точек, где \(| |x| - |y| | = 2n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)). Решение: Множество состоит из полос между прямыми \(|x| - |y| = 2n\). Графически это "ступенчатые" линии, параллельные биссектрисам координатных углов, отстоящие на чётные расстояния от начала координат.
   
   
6. Могут ли лучи совпасть при построении? Решение: Да, если исходный угол \(\angle A_1OA_2\) равен \(360^\circ / n\), где \(n\) — целое. Например, при угле \(120^\circ\): - \(OA_2\) — биссектриса \(60^\circ\) - \(OA_3\) — биссектриса \(30^\circ\) - Через 6 шагов луч вернётся в исходное положение. Ответ: Да, при углах вида \(360^\circ / n\).
   
   
7. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} \sqrt{\frac{(x^4 - 1)(2 - x)^2}{(x^2 - 3x + 2)(1 - x)}} + \frac{(x + 2)(2x - 1)}{x(3 - x)} > 0 \\ (6 - 5x - x^6)\sqrt{x + 1}(2 - x) \le 0 \end{cases} \] Решение: 1. Второе неравенство: - ОДЗ: \(x \ge -1\) - Критические точки: \(x = -1, 0, 2\) - Интервалы: \([-1; 0) \cup (2; +\infty)\)
   
   2. Первое неравенство: - ОДЗ: \(x \in (-1;1) \cup (2; +\infty)\) - После анализа знаков получаем \(x \in (-1;0) \cup (0;1) \cup (2;3)\)
   
   Пересечение решений: \(x \in [-1;0) \cup (2;3)\) Ответ: \(\boxed{[-1;0) \cup (2;3)}\)