8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-II-9-2

Сложность:
Дата экзамена: 2018
Сложность:
Дата экзамена: 2018
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2018 год


Вариант ФМШ 2018-II-9-2



  1. Вычислите: \[ \frac{(3+\sqrt{2})^6 + (3-\sqrt{2})^6} {(3+\sqrt{2})^4 + (3-\sqrt{2})^4} : \bigl((3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2\bigr). \]

  2. Может ли на вопрос «Ты хочешь мандарин или не хочешь персик?» быть корректным ответ «Да»? Может ли отвечающий хотеть мандарин или персик, если на последующий вопрос «Ты не хочешь ни персик, ни мандарин?» был получен ответ «Нет»? Какой вопрос можно задать, чтобы точно понять, что именно хочет или не хочет отвечающий? Ответы обосновать.

  3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее, чем бежала Света. Расстояния от домов Насти и Димы до школы одинаковы. Каково минимальное значение части пути, который Настя прошла до встречи с Викой, если она вышла из дома на 15 минут раньше Димы, а прибежала к школе вместе с Викой на 5 минут раньше него?

  4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются числами с одинаковыми знаками, при этом модули координат каждой точки отличаются не более, чем на 2.

  5. Решите уравнение: \[ x^2 - y^4 = \sqrt{\,8x - 16 - x^2\,}. \]

  6. К окружности с внешней стороны приписаны шесть одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2,\quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала следующего, а сами точки начала и окончания всех фрагментов лежат на окружности. Найдите расстояние между вершинами противоположных фрагментов.

  7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 105, либо на 154, но не делятся на 33? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вычислите: \[ \frac{(3+\sqrt{2})^6 + (3-\sqrt{2})^6} {(3+\sqrt{2})^4 + (3-\sqrt{2})^4} : \bigl((3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2\bigr) \] Решение: Обозначим \( a = 3+\sqrt{2} \), \( b = 3-\sqrt{2} \). Заметим, что \( a + b = 6 \), \( ab = 7 \). Используя рекуррентное соотношение для \( a^n + b^n \): \[ a_n = 6a_{n-1} -7a_{n-2} \] Начальные условия: \( a_0 = 2 \), \( a_1 = 6 \). Вычисляем: \[ a_2 = 22, \quad a_4 = 386, \quad a_6 = 7414 \] Подставляем в выражение: \[ \frac{7414}{386} : 22 = \frac{7414}{386 \cdot 22} = \frac{337}{386} \] Ответ: \(\frac{337}{386}\).

  2. Может ли на вопрос «Ты хочешь мандарин или не хочешь персик?» быть корректным ответ «Да»? Может ли отвечающий хотеть мандарин или персик, если на последующий вопрос «Ты не хочешь ни персик, ни мандарин?» был получен ответ «Нет»? Какой вопрос можно задать, чтобы точно понять, что именно хочет или не хочет отвечающий? Ответы обосновать.
    Решение:
    1. Ответ «Да» возможен, если отвечающий хочет мандарин или не хочет персик (или оба условия).
    2. Ответ «Нет» на вопрос «Ты не хочешь ни персик, ни мандарин?» означает, что отвечающий хочет хотя бы один из них. Следовательно, он может хотеть мандарин или персик.
    3. Для точного определения нужно задать раздельные вопросы: «Хочешь ли ты мандарин?» и «Хочешь ли ты персик?».
    Ответ: Да; Да; Задать раздельные вопросы.

  3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее, чем бежала Света. Расстояния от домов Насти и Димы до школы одинаковы. Каково минимальное значение части пути, который Настя прошла до встречи с Викой, если она вышла из дома на 15 минут раньше Димы, а прибежала к школе вместе с Викой на 5 минут раньше него?
    Решение: Пусть скорость Димы \( v \), тогда скорость Насти \( \frac{v}{2} \). Скорость бега \( 3v \). Время Димы: \( \frac{S}{v} \). Время Насти: \( \frac{x}{v/2} + \frac{S - x}{3v} \). Уравнение: \[ \frac{2x}{v} + \frac{S - x}{3v} = \frac{S}{v} - 20 \] Решая, получаем \( x = \frac{S - 60v}{4} \). Минимальная доля пути: \( \frac{x}{S} = \frac{1}{4} \).
    Ответ: \( \frac{1}{4} \).

  4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются числами с одинаковыми знаками, при этом модули координат каждой точки отличаются не более, чем на 2.
    Решение: Множество точек, где \( x \) и \( y \) одного знака и \( | |x| - |y| | \leq 2 \). Графически — область между линиями \( y = x \pm 2 \) в первом и третьем квадрантах.
    Ответ: Объединение областей в I и III квадрантах между \( y = x + 2 \) и \( y = x - 2 \).

  5. Решите уравнение: \[ x^2 - y^4 = \sqrt{\,8x - 16 - x^2\,} \] Решение: Подкоренное выражение \( 8x - 16 - x^2 \geq 0 \). Решаем \( -x^2 + 8x - 16 \geq 0 \Rightarrow (x - 4)^2 \leq 0 \Rightarrow x = 4 \). Подставляя \( x = 4 \): \[ 16 - y^4 = 0 \Rightarrow y = \pm 2 \] Ответ: \( (4, 2) \), \( (4, -2) \).

  6. К окружности с внешней стороны приписаны шесть одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2,\quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала следующего, а сами точки начала и окончания всех фрагментов лежат на окружности. Найдите расстояние между вершинами противоположных фрагментов.
    Решение: Точки прикрепления фрагментов образуют правильный шестиугольник с радиусом \( R = 4 \). Расстояние между противоположными вершинами: \( 2R = 8 \).
    Ответ: 8.

  7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 105, либо на 154, но не делятся на 33? Ответ обосновать.
    Решение: Используем включение-исключение: \[ \left\lfloor \frac{10000}{105} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10000}{154} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{10000}{2310} \right\rfloor - \left( \left\lfloor \frac{10000}{1155} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{10000}{462} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{10000}{2310} \right\rfloor \right) = 130 \] Ответ: 130.
Материалы школы Юайти