ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-II-9-1

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-II-9-1

1. Вычислите: \[ ((3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2) : \frac{(3+\sqrt{2})^6 + (3-\sqrt{2})^6}{(3+\sqrt{2})^4 + (3-\sqrt{2})^4}. \]
   
   
2. Может ли на вопрос «Ты что хочешь: мандарин или персик?» быть корректным ответ «Да»? Может ли отвечающий хотеть мандарин или персик, если на последующие вопросы «Ты хочешь мандарин?» и «Ты хочешь персик?» были получены ответы «Нет»? Какой вопрос можно задать, чтобы уточнить, действительно ли отвечающий не хочет ни мандарина, ни персика? Ответы обосновать.
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. Но если он по пути встретит Петю, то вместе они пойдут в 4 раза медленнее бегущей Светы. Расстояния от домов Васи и Светы до школы одинаковые. Каково максимальное значение части пути, которое Вася пробежал до встречи с Петей, если он выбежал из дома на 5 минут раньше Светы, а подошёл к школе вместе с Петей на 10 минут позже неё?
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются числами с разными знаками, при этом модули координат каждой точки отличаются не более, чем на 2.
   
   
5. Решите уравнение: \[ x^4 - y^2 = \sqrt{6x - 9 - x^2}. \]
   
   
6. К окружности с внешней стороны приписаны 6 одинаковых фрагментов графика функции \[ y = x^2,\quad x \in [-2,2], \] так, что точка окончания одного фрагмента совпадает с точкой начала другого, а сами точки начал и окончаний лежат на окружности. Найдите расстояние между вершинами соседних фрагментов.
   
   
7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся либо на 70, либо на 102, но не делятся на 15? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Вычислите: \[ ((3+\sqrt{2})^2 + (3-\sqrt{2})^2) : \frac{(3+\sqrt{2})^6 + (3-\sqrt{2})^6}{(3+\sqrt{2})^4 + (3-\sqrt{2})^4}. \] Решение: Обозначим \( A = 3 + \sqrt{2} \), \( B = 3 - \sqrt{2} \). Используя свойства сопряжённых чисел и рекуррентные соотношения: \[ A^2 + B^2 = 22, \quad A^4 + B^4 = 386, \quad A^6 + B^6 = 7414. \] Подставляем в выражение: \[ \frac{22 \cdot 386}{7414} = \frac{8492}{7414} = \frac{386}{337}. \] Ответ: \(\frac{386}{337}\).
   
   
2. Может ли ответ «Да» быть корректным на вопрос «Ты хочешь мандарин или персик?»?
   Решение: Да, если вопрос подразумевает инклюзивное «или» (хотя бы один). Однако если на последующие вопросы ответы «Нет», это означает, что отвечающий не хочет ни того, ни другого. Для уточнения можно задать вопрос: «Ты не хочешь ни мандарин, ни персик?».
   
   Ответ: Да, если вопрос допускает выбор обоих; последующие «Нет» означают отсутствие желания; уточняющий вопрос — «Ты не хочешь ни мандарин, ни персик?».
   
   
3. Вася бежит в школу в 2 раза быстрее Светы. После встречи с Петей их скорость становится в 4 раза меньше скорости Светы. Вася вышел на 5 минут раньше и пришёл на 10 минут позже.
   Решение: Пусть \( S \) — расстояние до школы, \( v \) — скорость Светы. Время Васи: \[ \frac{kS}{2v} + \frac{4(1 - k)S}{v} = \frac{S}{v} + 15. \] Решая уравнение, находим максимальную долю пути \( k = \frac{6}{7} \).
   
   Ответ: \(\frac{6}{7}\).
   
   
4. Изобразите множество точек с разными знаками координат, где модули отличаются не более чем на 2.
   Решение: Это объединение областей во II и IV четвертях, ограниченных линиями \( x + y = \pm 2 \).
   
   Ответ: Точки, где \( |x + y| \leq 2 \) при \( x \cdot y < 0 \).
   
   
5. Решите уравнение: \[ x^4 - y^2 = \sqrt{6x - 9 - x^2}. \] Решение: Правая часть определена только при \( x = 3 \). Подставляя, получаем \( y = \pm 9 \).
   
   Ответ: \( (3; \pm 9) \).
   
   
6. Расстояние между вершинами соседних фрагментов.
   Решение: Вершины образуют правильный шестиугольник с радиусом 2.5. Расстояние между соседними вершинами равно 2.5.
   
   Ответ: 2.5.
   
   
7. Числа ≤10000, делящиеся на 70 или 102, но не на 15.
   Решение: По принципу включения-исключения: \[ |A \cup B| - |C \cup D| = 238 - 64 = 174. \] Ответ: 174.