ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-9-2

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-9-2

1. Решите уравнение: \[ -\,(2 - 4x + 6)\;-\;(4x - 6 + 8x)\;+\;(8x - 10 + 12x)\;+\;(10 - 12x + 14)\;-\; -\,(14 - 16x + 18)\;-\;(16x - 18 + 20x)\;+\;(20x - 22 + 24x)\;+\;\dots -\,(9998 - 10000x + 10002)\;-\;(10000x - 10002 + 10004x) \;=\;10002. \]
   
   
2. Что такое гипербола? Попробуйте дать определение понятию «сумма гипербол». Верно ли, что «сумма гипербол» является гиперболой? Ответ обосновать.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них каждый чётный час своего пути ехал со скоростью \(15{,}2\) км/ч, а каждый нечётный — со скоростью \(8{,}8\) км/ч, а второй выехал на 1 час позже первого с начальной скоростью \(11{,}1\) км/ч и ехал с постоянным ускорением \(0{,}5\) км/ч\(^2\). Через какое время после старта второго велосипедиста впервые догнал первого? Находились ли велосипедисты вновь одновременно в одной точке? Если да, то когда?
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию: \[ x - y^{2} \;\le\; y \;\le\; x + y^{2}. \]
   
   
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник таким образом, что его вершина находится в одной из вершин квадрата. Какую минимальную площадь может иметь квадрат, если площадь данного треугольника равна \(a\)?
   
   
6. Сумма трёх последовательных натуральных чисел, делящихся на некоторое натуральное \(n\) (здесь и далее «делится» означает «делится нацело»), делится на 42, но не делится на 12. Докажите следующие утверждения:
   1. Разность квадратов наибольшего и наименьшего из этих чисел делится на 8.
   2. Сумма квадратов всех трёх чисел либо делится на 98, либо не делится на 7.
   
   
   
7. При каких натуральных значениях \(k\) и действительных значениях \(a\) \((a\neq2,\,a\neq5)\) решением неравенства \[ \frac{(x - 5)^{k}\,(x - a)^{\,k+1}}{(x - 2)^{\,k+2}} \;\le\;0 \] является интервал (полуинтервал)?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ -\,(2 - 4x + 6)\;-\;(4x - 6 + 8x)\;+\;(8x - 10 + 12x)\;+\;(10 - 12x + 14)\;-\; -\,(14 - 16x + 18)\;-\;(16x - 18 + 20x)\;+\;(20x - 22 + 24x)\;+\;\dots -\,(9998 - 10000x + 10002)\;-\;(10000x - 10002 + 10004x) \;=\;10002. \] Решение:
   Рассмотрим группировку членов уравнения по четыре: \[ \begin{aligned} &-(2 - 4x + 6) - (4x - 6 + 8x) + (8x - 10 + 12x) + (10 - 12x + 14) \\ &= 4x - 8 - 12x + 6 + 20x - 10 - 12x + 24 = 12. \end{aligned} \] Каждая такая группа из четырёх членов даёт константу \(12\). Всего таких групп \(625\) (поскольку последние члены соответствуют \(10000x\), что соответствует \(2500\) членам, сгруппированным по 4). Сумма констант: \(625 \cdot 12 = 7500\). Последние два члена уравнения: \[ -(9998 - 10000x + 10002) - (10000x - 10002 + 10004x) = -9998 - 10004x. \] Уравнение принимает вид: \[ 7500 - 9998 - 10004x = 10002 \quad \Rightarrow \quad -10004x = 13500 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{13500}{10004} = -\frac{3375}{2501}. \] Ответ: \(x = -\dfrac{3375}{2501}\).
   
   
2. Что такое гипербола? Попробуйте дать определение понятию «сумма гипербол». Верно ли, что «сумма гипербол» является гиперболой? Ответ обосновать.
   Решение:
   Гипербола — это множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) постоянен.
   Термин «сумма гипербол» не является стандартным. Если под суммой понимать алгебраическое сложение уравнений гипербол, то результирующее уравнение не обязательно будет гиперболой. Например, сложение уравнений \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) и \(\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1\) даёт \(0 = 2\), что не является гиперболой.
   Ответ: Нет, сумма гипербол не является гиперболой.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый едет с чередующейся скоростью: чётные часы — \(15{,}2\) км/ч, нечётные — \(8{,}8\) км/ч. Второй выехал на 1 час позже с начальной скоростью \(11{,}1\) км/ч и ускорением \(0{,}5\) км/ч\(^2\). Через какое время после старта второго велосипедиста он догонит первого?
   Решение:
   Пусть \(t\) — время движения второго велосипедиста. За это время первый проедет: \[ S_1 = 15{,}2 \cdot \left\lfloor \frac{t + 1}{2} \right\rfloor + 8{,}8 \cdot \left\lceil \frac{t + 1}{2} \right\rceil. \] Второй велосипедист движется равноускоренно: \[ S_2 = 11{,}1t + \frac{0{,}5}{2}t^2. \] Решая уравнение \(S_1 = S_2\) численно, получаем \(t \approx 10\) часов.
   Ответ: Через \(10\) часов. Встреча произойдёт ещё раз через \(20\) часов.
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих условию: \[ x - y^{2} \;\le\; y \;\le\; x + y^{2}. \] Решение:
   Преобразуем неравенства: \[ \begin{cases} y \ge x - y^2, \\ y \le x + y^2. \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} y^2 + y - x \ge 0, \\ y^2 - y + x \ge 0. \end{cases} \] Границы: параболы \(x = y^2 + y\) и \(x = -y^2 + y\). Искомое множество — область между этими параболами.
   Ответ: Множество точек между параболами \(x = y^2 + y\) и \(x = -y^2 + y\).
   
   
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник с вершиной в вершине квадрата. Минимальная площадь квадрата:
   Решение:
   Пусть сторона квадрата \(a\). Высота треугольника равна \(a\), основание \(b\). Площадь треугольника: \[ \frac{1}{2}ab = a \quad \Rightarrow \quad b = 2. \] По теореме Пифагора: \(a^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = a^2 + 1 = a^2 \quad \Rightarrow \quad a = 1\).
   Ответ: Минимальная площадь квадрата \(2a\).
   
   
6. Докажите утверждения:
   
   1. Разность квадратов наибольшего и наименьшего чисел делится на 8.
      Решение:
      Пусть числа \(n\), \(n + d\), \(n + 2d\). Разность квадратов: \[ (n + 2d)^2 - n^2 = 4d(n + d). \] Поскольку сумма чисел \(3n + 3d\) делится на 42, \(d\) чётно. Тогда \(4d(n + d)\) делится на 8.
      
   2. Сумма квадратов чисел либо делится на 98, либо не делится на 7.
      Решение:
      Сумма квадратов: \(n^2 + (n + d)^2 + (n + 2d)^2 = 3n^2 + 6nd + 5d^2\). Если \(d\) кратно 7, то сумма делится на 98. Иначе — не делится на 7.
      
   
   
   
7. При каких натуральных \(k\) и действительных \(a \neq 2, 5\) решением неравенства \[ \frac{(x - 5)^{k}(x - a)^{k+1}}{(x - 2)^{k+2}} \le 0 \] является интервал?
   Решение:
   Анализ знаков показывает, что интервал возможен только при чётном \(k+2\), то есть \(k\) чётном. При \(a > 5\) решение — интервал \((2, 5)\). При \(a < 2\) — интервал \((a, 2)\).
   Ответ: \(k\) чётное, \(a > 5\) или \(a < 2\).