ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-9-1

ФМШ МИЭМ

2018 год

Вариант ФМШ 2018-9-1

1. Решите уравнение: \[ -(1 - 3x + 5)\;-\;(3x - 5 + 7x)\;+\;(7x - 9 + 11x)\;+\;(9 - 11x + 13) \;-\;(13 - 15x + 17)\;-\;(15x - 17 + 19x)\;+\;(19x - 21 + 23x)\;-\;\dots -(9997 - 9999x + 10001)\;-\;(9999x - 10001 + 10003x)\;=\;10002. \]
   
   
2. Что такое парабола? Попробуйте дать определение понятию «сумма парабол». Верно ли, что «сумма парабол» является параболой? Ответ обосновать.
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый из них каждый чётный час своего пути ехал со скоростью \(15{,}8\) км/ч, а каждый нечётный — со скоростью \(8{,}2\) км/ч, а второй выехал на 1 час позже первого с начальной скоростью \(10{,}02\) км/ч и поехал с ускорением \(0{,}56\) км/ч\(^2\). Через какое время после старта второго велосипедиста впервые догнал первого? Находились ли велосипедисты вновь одновременно в одной точке? Если да, то когда?
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют следующему условию: \[ -y^{2} - x \;\le\; y \;\le\; y^{2} - x. \]
   
   
5. В квадрат вписан равнобедренный треугольник таким образом, что его вершина совпадает с вершиной квадрата. Какую максимальную площадь может иметь этот треугольник, если площадь квадрата равна \(a\)?
   
   
6. Сумма трёх последовательных натуральных чисел, делящихся на некоторое натуральное \(n\) (здесь и далее в данной задаче «делится» означает «делится нацело»), делится на 42, но не делится на 12. Докажите следующие утверждения:
   1. Разность наибольшего и наименьшего из этих чисел не делится на 32.
   2. Если сумма квадратов всех трёх чисел делится на 7, то \(n\) делится и на 98.
   
   
   
7. При каких натуральных значениях \(k\) и действительных значениях \(a\) \((a \neq 1,\,a \neq 3)\) решение неравенства \[ \frac{(x - 1)^{k}\,(x - a)^{k+1}}{(x - 3)^{\,k+2}} \;\le\;0 \] является интервалом (полуинтервалом)?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ -(1 - 3x + 5) - (3x - 5 + 7x) + (7x - 9 + 11x) + (9 - 11x + 13) - \dots - (9997 - 9999x + 10001) - (9999x - 10001 + 10003x) = 10002. \] Решение: Заметим, что уравнение представляет собой телескопическую сумму. При раскрытии скобок большинство членов сокращается. Остаются только крайние члены: \[ -10000x - 10003 = 10002 \implies -10000x = 20005 \implies x = -\frac{20005}{10000} = -2.0005. \] Ответ: \(-2.0005\).
   
   
2. Что такое парабола? Попробуйте дать определение понятию «сумма парабол». Верно ли, что «сумма парабол» является параболой? Ответ обосновать.
   Решение: Парабола — график квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\). Сумма двух парабол \(y_1 = a_1x^2 + b_1x + c_1\) и \(y_2 = a_2x^2 + b_2x + c_2\) будет функцией \(y = (a_1 + a_2)x^2 + (b_1 + b_2)x + (c_1 + c_2)\). Если \(a_1 + a_2 \neq 0\), сумма является параболой. Если \(a_1 + a_2 = 0\), сумма — линейная функция. Ответ: сумма парабол является параболой только при \(a_1 + a_2 \neq 0\).
   
   
3. Два велосипедиста поехали по одной дороге из города \(N\). Первый едет с чередующейся скоростью: чётные часы — \(15{,}8\) км/ч, нечётные — \(8{,}2\) км/ч. Второй стартует на 1 час позже с начальной скоростью \(10{,}02\) км/ч и ускорением \(0{,}56\) км/ч\(^2\). Найти время встречи.
   Решение: Пусть \(t\) — время движения второго велосипедиста. Путь первого за \(t + 1\) часов: \[ S_1 = \sum_{k=1}^{t+1} v_k, \quad v_k = \begin{cases} 15{,}8 & \text{если } k \text{ чётное}, \\ 8{,}2 & \text{если } k \text{ нечётное}. \end{cases} \] Путь второго: \[ S_2 = 10{,}02t + 0{,}28t^2. \] Решая уравнение \(S_1 = S_2\) численно, получаем \(t \approx 5\) часов. Повторная встреча возможна при дальнейшем движении. Ответ: первая встреча через 5 часов, повторная — через 11 часов.
   
   
4. На координатной плоскости изобразите множество точек, удовлетворяющих: \[ -y^{2} - x \le y \le y^{2} - x. \] Решение: Преобразуем неравенства: \[ \begin{cases} x \ge -y^2 - y, \\ x \le y^2 - y. \end{cases} \] Область между параболами \(x = -y^2 - y\) и \(x = y^2 - y\). Ответ: заштрихованная область между этими параболами.
   
   
5. В квадрат площади \(a\) вписан равнобедренный треугольник с вершиной в вершине квадрата. Максимальная площадь треугольника.
   Решение: Пусть сторона квадрата \(\sqrt{a}\). Треугольник с вершинами \((0,0)\), \((x,0)\), \((0,x)\). Площадь: \[ S = \frac{1}{2}x^2 \le \frac{1}{2}a. \] Максимальная площадь \(\frac{a}{2}\). Ответ: \(\frac{a}{2}\).
   
   
6. Сумма трёх последовательных чисел, делящихся на \(n\), делится на 42, но не на 12.
   1. Доказать: разность чисел не делится на 32.
      Решение: Числа \(nk\), \(n(k+1)\), \(n(k+2)\). Разность \(2n\). Так как \(3n(k+1)\) делится на 42, \(n\) делится на 14, но не на 4. Тогда \(2n\) делится на 28, но не на 32.
      
      
   2. Если сумма квадратов делится на 7, то \(n\) делится на 98.
      Решение: Из условия \(n^2(3k^2 + 6k + 5) \equiv 0 \mod 7\). Так как 7 простое, \(n\) должно делиться на 7. Учитывая делимость на 14, \(n\) делится на 98.
   
   
   
7. При каких \(k \in \mathbb{N}\) и \(a \neq 1, 3\) решение неравенства \[ \frac{(x - 1)^{k}(x - a)^{k+1}}{(x - 3)^{k+2}} \le 0 \] является интервалом?
   Решение: Анализ знака выражения. Для интервала необходимо, чтобы корни \(x = 1\) и \(x = a\) были одной чётности кратности, а \(x = 3\) — нечётной. При \(k\) нечётном и \(a 3\). Ответ: \(k\) нечётное, \(a \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\).