ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-III-9-2
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2017 год
Вариант ФМШ 2017-III-9-2
- Решите уравнение:
\[
\frac{
\begin{gathered}
x : \dfrac{x}{y}\quad\Big/\quad \dfrac{y}{x} : x\\
y : \dfrac{y}{x}\quad\Big/\quad x : \dfrac{y}{x}
\end{gathered}
}{
\begin{gathered}
x : \dfrac{x}{y}\quad\Big/\quad x : y\\
\dfrac{x}{y} : x\quad\Big/\quad \dfrac{x}{y} : x
\end{gathered}
}
=1.
\]
- Что такое площадь? У чего может быть площадь? Если у одного предмета и у другого одинаковая площадь, можно ли сказать, что первый равен второму? Ответы обосновать.
- В стакан, заполненный наполовину, доливают некоторое вещество в объёме \(k\%\) от половины стакана. Хорошо перемешав полученную смесь, такой же объём жидкости из стакана отливают, и описанную процедуру повторяют. Выведите формулу зависимости процентного содержания в стакане доливаемого вещества после \(n\) повторений данной процедуры от процентного содержания доливаемого вещества после \((n-1)\)-го повторения и величины \(k\).
- Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
\[
\bigl|x - y\bigr| > \bigl|x + y\bigr|.
\]
- В квадрат вписан другой квадрат таким образом, что его вершины лежат на сторонах исходного квадрата и делят их в отношении \(1:4\). Во второй квадрат тоже вписан квадрат, вершины которого лежат на сторонах второго квадрата и делят их в отношении \(1:4\), и т.д. Во сколько раз площадь сотого квадрата, полученного при таких построениях, будет меньше площади исходного квадрата?
- Два натуральных числа в сумме дают \(155\). Может ли число \(155\) быть делителем произведения этих чисел? Ответ обосновать.
- Почему трубы, как правило, делают с круглым сечением? Как можно сравнить пропускные способности трубы с круглым сечением и сечением в виде квадрата? В каких случаях, на ваш взгляд, могли бы использоваться трубы с сечением в виде квадрата?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение:
\[
\frac{
\begin{gathered}
x : \dfrac{x}{y}\quad\Big/\quad \dfrac{y}{x} : x\\
y : \dfrac{y}{x}\quad\Big/\quad x : \dfrac{y}{x}
\end{gathered}
}{
\begin{gathered}
x : \dfrac{x}{y}\quad\Big/\quad x : y\\
\dfrac{x}{y} : x\quad\Big/\quad \dfrac{x}{y} : x
\end{gathered}
}
=1.
\]
Решение:
Упростим дроби в числителе и знаменателе по отдельности. Операторы "/" обозначают деление между верхней и нижней строкой.
Числитель:
\[
\frac{x : \frac{x}{y}}{\frac{y}{x} : x} = \frac{x \cdot \frac{y}{x}}{\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{y}{\frac{y}{x^2}} = x^2
\]
\[
\frac{y : \frac{y}{x}}{x : \frac{y}{x}} = \frac{y \cdot \frac{x}{y}}{x \cdot \frac{x}{y}} = \frac{x}{\frac{x^2}{y}} = \frac{y}{x}
\]
Знаменатель:
\[
\frac{x : \frac{x}{y}}{x : y} = \frac{x \cdot \frac{y}{x}}{x \cdot \frac{1}{y}} = \frac{y}{\frac{x}{y}} = \frac{y^2}{x}
\]
\[
\frac{\frac{x}{y} : x}{\frac{x}{y} : x} = 1
\]
Собираем уравнение:
\[
\frac{x^2 \cdot \frac{y}{x}}{\frac{y^2}{x} \cdot 1} = \frac{x^2 \cdot y}{x \cdot \frac{y^2}{x}} = \frac{x y}{\frac{y^2}{x}} = \frac{x^2 y}{y^2} = \frac{x^2}{y} = 1
\]
Получаем:
\[
\frac{x^2}{y} = 1 \quad \Rightarrow \quad y = x^2
\]
Отметим, что все операции допустимы при \(x \neq 0\), \(y \neq 0\).
Ответ: \(y = x^2\) при \(x \neq 0\), \(y \neq 0\).
- Что такое площадь? У чего может быть площадь? Если у одного предмета и у другого одинаковая площадь, можно ли сказать, что первый равен второму? Ответы обосновать.
Решение:
1. Площадь — численная характеристика двумерной фигуры, мера её протяжённости на плоскости. Формально определяется интегралом по поверхности или через аксиомы длины и площади.
2. Площадь может быть у любых плоских фигур (многоугольники, криволинейные фигуры) и поверхностей трёхмерных объектов.
3. Нет. Примеры:
- Квадрат 2×2 и прямоугольник 1×4 имеют площадь 4, но различную форму
- Фигура сложной формы может иметь ту же площадь, что и правильный многоугольник
- Топологически разные фигуры могут иметь равные площади
- Выведите формулу зависимости процентного содержания вещества после \(n\) процедур.
Решение:
Обозначим:
- \(V\) — объём стакана (примем \(V = 1\) для простоты)
- \(k\%\) доливаемого вещества от половины стакана: \(\frac{k}{200}\)
- После каждого цикла концентрация изменяется по закону: Пусть \(c_{n-1}\) — концентрация после \((n-1)\) шага. После добавления \(k/200\) вещества объём становится \(0.5 + 0.005k\). Перемешиваем и отливаем \(k/200\), удаляя пропорциональную долю вещества: \[ c_n = c_{n-1} \left(1 - \frac{0.005k}{0.5 + 0.005k}\right) + \frac{0.005k}{0.5 + 0.005k} \] Коэффициент сохранения старого вещества: \[ \alpha = \frac{0.5}{0.5 + 0.005k} \] Тогда рекуррентная формула: \[ c_n = \alpha c_{n-1} + (1 - \alpha) \] Наконец, явная формула при \(c_0 = 0.5\) (половина стакана — чистое вещество): \[ c_n = 1 - \alpha^n \cdot 0.5 \]
- Изобразите множество точек \(\bigl|x - y\bigr| > \bigl|x + y\bigr|\).
Решение:
Возведём обе части неравенства в квадрат:
\[
(x - y)^2 > (x + y)^2
\]
Раскрываем скобки:
\[
x^2 - 2xy + y^2 > x^2 + 2xy + y^2
\]
Упрощаем:
\[
-4xy > 0 \quad \Rightarrow \quad xy < 0
\]
Ответ: Множество точек расположено во II и IV координатных четвертях (где \(x\) и \(y\) имеют разные знаки).
- Площадь сотого квадрата.
Решение:
1. Пусть сторона исходного квадрата \(a\). Площадь \(S_1 = a^2\).
2. Вписанный квадрат: каждая вершина делит сторону в соотношении 1:4. Используя теорему Пифагора для малого треугольника:
\[
l = \sqrt{\left(\frac{4a}{5}\right)^2 + \left(\frac{a}{5}\right)^2} = \frac{a\sqrt{17}}{5}
\]
3. Площадь второго квадрата:
\[
S_2 = \left(\frac{a\sqrt{17}}{5}\right)^2 = \frac{17a^2}{25} = \frac{17}{25}S_1
\]
4. Каждая итерация даёт коэффициент \(\lambda = \frac{17}{25}\). Для 100 квадратов:
\[
S_{100} = S_1 \cdot \lambda^{99}
\]
5. Искомое отношение:
\[
\frac{S_1}{S_{100}} = \left(\frac{25}{17}\right)^{99}
\]
Ответ: В \(\left(\dfrac{25}{17}\right)^{99}\) раз.
- Может ли 155 быть делителем произведения?
Решение:
\(155 = 5 \times 31\) (простые делители). Пусть числа \(m\) и \(n\), \(m + n = 155\). Возможные случаи:
1. Оба числа делятся на 5 и 31 — противоречие, так как их сумма тогда ≥ 5 + 31 = 36 > 155.
2. Одно число делится на 5, другое на 31: пусть \(m = 5k\), \(n = 31l\). Тогда \(5k + 31l = 155\). Подставим \(k = \frac{155 - 31l}{5} = 31 - \frac{31l}{5}\). Чтобы \(k\) было целым, \(l\) должно делиться на 5: \(l = 5\), тогда \(k = 31 - 31 = 0\) — не натуральное.
Ответ: Нет, 155 не может быть делителем произведения.
- Почему трубы круглые?
Решение:
1. Круглое сечение оптимально:- Наибольшая площадь при заданном периметре (\(S_{кр} = \dfrac{P^2}{4\pi}\) против \(S_{кв} = \dfrac{P^2}{16}\))
- Равномерное распределение давления
- Меньше сопротивление потоку
- Для транспортировки прямоугольных объектов
- В архитектурных решениях
- При специфических требованиях к монтажу
Материалы школы Юайти