ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2017

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-III-9-1

1. Решите уравнение: \[ \frac{ \begin{array}{c} x : \dfrac{x}{y}\\ x : \dfrac{y}{x}\\ \dfrac{y}{x} : x \end{array} }{ \begin{array}{cc} \dfrac{x}{y} : x & \dfrac{y}{x} : y\\ \dfrac{x}{y} : x & \dfrac{y}{x} : x \end{array} } = 1. \]
   
   
2. Что такое длина? Что может иметь длину? Если у чего-то одного и чего-то другого одинаковая длина, то можно ли сказать, что первое равно второму? Ответы обосновать.
   
   
3. Из стакана отливают \(k\%\) его содержимого и доливают такой же объём некоторого вещества. Хорошо перемешав полученную смесь, описанную процедуру повторяют. Выведите формулу зависимости процентного содержания в стакане доливаемого вещества после \(n\) повторений данной процедуры от процентного содержания доливаемого вещества после \((n-1)\)-го повторения данной процедуры и величины \(k\).
   
   
4. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условию \[ \lvert x - y\rvert < \lvert x + y\rvert. \]
   
   
5. В квадрат вписан другой квадрат таким образом, что его вершины лежат на сторонах исходного квадрата и делят их в отношении \(3:1\). Во второй квадрат также вписан квадрат, вершины которого лежат на сторонах второго квадрата и делят их в отношении \(3:1\), и т.\,д. Во сколько раз площадь сотого квадрата, полученного при таких построениях, будет меньше площади исходного квадрата?
   
   
6. Два натуральных числа в сумме дают 141. Может ли число 141 быть делителем произведения этих натуральных чисел? Ответ обосновать.
   
   
7. Почему трубы, как правило, делают с круглым сечением? Как можно сравнить пропускные способности трубы с круглым сечением и сечением в виде правильного треугольника? В каких случаях, на ваш взгляд, могли бы использоваться трубы с сечением в виде правильного треугольника?

Решения задач

1. Решите уравнение: \[ \frac{ \begin{array}{c} x : \dfrac{x}{y}\\ x : \dfrac{y}{x}\\ \dfrac{y}{x} : x \end{array} }{ \begin{array}{cc} \dfrac{x}{y} : x & \dfrac{y}{x} : y\\ \dfrac{x}{y} : x & \dfrac{y}{x} : x \end{array} } = 1. \] Решение: Упростим выражения в числителе и знаменателе:
   • Числитель: \[ \begin{cases} x : \dfrac{x}{y} = y \\ x : \dfrac{y}{x} = \dfrac{x^2}{y} \\ \dfrac{y}{x} : x = \dfrac{y}{x^2} \end{cases} \]
   • Знаменатель (определитель матрицы 2×2): \[ \begin{vmatrix} \dfrac{1}{y} & \dfrac{1}{x} \\ \dfrac{1}{y} & \dfrac{y}{x^2} \end{vmatrix} = \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{y}{x^2} - \dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{xy} \]
   Уравнение принимает вид: \[ \frac{y \cdot \dfrac{x^2}{y} \cdot \dfrac{y}{x^2}}{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{xy}} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{y}{\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{xy}} = 1 \] Решая уравнение, получаем: \[ \begin{gathered} y \cdot \dfrac{x^2 y}{y - x} = 1 \quad \Rightarrow \\ x^2 y^2 = y - x \quad \Rightarrow \\ x^2 y^2 - y + x = 0 \end{gathered} \] Проверяя варианты, выявляем решение \( y = x \).
   Ответ: \( y = x \).
2. Что такое длина? Что может иметь длину? Можно ли считать объекты равными, если их длины совпадают?
   Решение:
   • Длина — характеристика протяжённости объекта в одном измерении.
   • Длину имеют линейные объекты: отрезки, кривые, ребра геометрических фигур и т.д.
   • Совпадение длин разных объектов не означает их равенства (например, различные отрезки могут иметь одинаковую длину).
   Ответ: Нет, равенство длин не подразумевает равенства объектов.
3. Формула зависимости концентрации после \(n\) разбавлений:
   Решение: После каждой операции остаётся \((1 - \dfrac{k}{100})\) предыдущего раствора и добавляется \(k\%\) нового вещества. Рекуррентная формула: \[ c_n = \left(1 - \dfrac{k}{100}\right) \cdot c_{n-1} + \dfrac{k}{100} \] Ответ: \( c_n = (1 - \dfrac{k}{100})c_{n-1} + \dfrac{k}{100} \).
4. Изобразите множество точек, удовлетворяющих \( |x - y| < |x + y| \):
   Решение: \[ |x - y| < |x + y| \quad \Rightarrow \quad (x - y)^2 < (x + y)^2 \quad \Rightarrow \quad -4xy 0 \] Ответ: Множество точек первой и третьей координатных четвертей.
5. Площадь сотого квадрата:
   Решение:
   • При каждом вложении площадь уменьшается в 8 раз (сторона нового квадрата составляет \(\dfrac{\sqrt{2}}{4}\) от исходной при делении сторон в отношении \(3:1\)).
   • Последовательность площадей: \( S_n = S_0 \cdot \left(\dfrac{1}{8}\right)^n \).
   Ответ: Площадь уменьшится в \(\boldsymbol{8^{100}}\) раз.
6. Может ли 141 быть делителем произведения чисел с суммой 141?
   Решение: Пусть числа \(a\) и \(141 - a\). Например, при \(a = 3\): \[ 141 \mid 3 \cdot 138 = 414 \quad ⇒ \quad 414 \div 141 = 3 \] Ответ: Да, может (например, 3 и 138).
7. Трубы круглого сечения:
   • Круглое сечение минимизирует сопротивление потоку.
   • Пропускная способность круга при одинаковом периметре выше, чем у треугольника.
   • Треугольные трубы могут использоваться в специфичных условиях (например, для оптимизации материала).
   Ответ: Круг оптимален для потока; треугольные сечения имеют узкие применения.