8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2017 год вариант ФМШ 2017-II-9-2

Сложность:
Дата экзамена: 2017
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2017 год


Вариант ФМШ 2017-II-9-2



  1. Чему может быть равен коэффициент \(c\) квадратного уравнения \[ x^2 - 4x + c = 0, \] если разность квадратов его корней в 3 раза меньше суммы квадратов его корней?

  2. Что называется объединением множеств? Может ли объединение каких-либо множеств быть равно их пересечению? Может ли объединение нескольких множеств совпасть с одним из этих множеств? Ответы обосновать.

  3. В сосуд, содержащий \(80\%\)-ный водный раствор активного вещества, долили воды, затем некоторое количество \(50\%\)-го водного раствора этого же вещества, а затем снова воды. После каждого шага процентное содержание активного вещества в растворе уменьшалось на \(10\%\). Найдите отношение количества долитой воды к количеству долитого \(50\%\)-го раствора.

  4. При каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) система \[ \begin{cases} 2x - y = a,\\ x - b\,y = 2,\\ c\,x - 2y = 8 \end{cases} \] имеет бесконечное количество решений? Запишите любые два из этих решений.

  5. Отрезок \([0;10]\) свернули в окружность так, что точка с координатой \(0\) совпала с точкой с координатой \(10\). Все остальные точки отрезка свои координаты сохранили. Точка \(M\) с координатой \(0\) делит дугу окружности \(AB\) в отношении \(1:4\). Какие значения может принимать координата точки \(A\)? Если координата точки \(B\) равна \(6\), то какая координата будет у точки \(N\), которая делит дугу \(AB\) в отношении \(4:1\)?

  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий:
    1. абсцисса не меньше ординаты;
    2. произведение абсциссы и ординаты больше единицы;
    3. сумма квадратов абсциссы и ординаты больше четырёх.


  7. Разность максимального и минимального трёхзначных чисел, которые можно составить из одинакового набора трёх цифр, две из которых совпадают, а третья отличается от них, равна \(495\). Найдите все возможные пары таких максимальных и минимальных трёхзначных чисел.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Чему может быть равен коэффициент \(c\) квадратного уравнения \[ x^2 - 4x + c = 0, \] если разность квадратов его корней в 3 раза меньше суммы квадратов его корней? Решение: Пусть корни уравнения \(x_1\) и \(x_2\). По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 x_2 = c \] Сумма квадратов корней: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2c \] Разность квадратов: \[ x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = (x_1 - x_2) \cdot 4 \] По условию: \[ x_1^2 - x_2^2 = \frac{1}{3}(x_1^2 + x_2^2) \implies 4(x_1 - x_2) = \frac{1}{3}(16 - 2c) \] Выразим \(x_1 - x_2\) через дискриминант: \[ x_1 - x_2 = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = \sqrt{16 - 4c} \] Подставляем в уравнение: \[ 4\sqrt{16 - 4c} = \frac{1}{3}(16 - 2c) \] \[ 12\sqrt{16 - 4c} = 16 - 2c \quad \text{Возводим в квадрат обе части:} \] \[ 144(16 - 4c) = 256 - 64c + 4c^2 \] \[ 2304 - 576c = 256 - 64c + 4c^2 \] \[ 4c^2 + 512c - 2048 = 0 \quad \text{Делим на 4:} \] \[ c^2 + 128c - 512 = 0 \] Дискриминант: \(D = 128^2 + 4 \cdot 512 = 18432\) \[ c = \frac{-128 \pm \sqrt{18432}}{2} \implies c = 3 \quad (\text{т.к. \(c > 0\)})\] Ответ: \(c = 3\).
  2. Что называется объединением множеств? Может ли объединение каких-либо множеств быть равно их пересечению? Может ли объединение нескольких множеств совпадать с одним из этих множеств? Ответы обосновать. Решение:
    1. Объединение множеств \(A \cup B\) — множество элементов, принадлежащих хотя бы одному из них.
    2. Объединение равно пересечению (\(A \cup B = A \cap B\)) тогда и только тогда, когда \(A = B\).
    3. Объединение совпадает с одним из множеств (\(A \cup B = A\)) тогда и только тогда, когда \(B \subseteq A\).
    Ответ: Да, если \(A = B\); Да, если одно множество содержит все остальные.
  3. В сосуд, содержащий \(80\%\)-ный водный раствор активного вещества, долили воды, затем некоторое количество \(50\%\)-го водного раствора этого же вещества, а затем снова воды. После каждого шага процентное содержание активного вещества в растворе уменьшалось на \(10\%\). Найдите отношение количества долитой воды к количеству долитого \(50\%\)-го раствора. Решение: Пусть изначальный раствор объемом \(V\). После первого разбавления: \[ \frac{0,8V}{V + a} = 0,7 \implies 0,8V = 0,7V + 0,7a \implies a = \frac{V}{7} \] После добавления \(b\) литров 50% раствора: \[ \frac{0,7(V + a) + 0,5b}{V + a + b} = 0,6 \implies \frac{0,7V + \frac{V}{7} \cdot 0,7 + 0,5b}{V + \frac{V}{7} + b} = 0,6 \] Упрощаем: \[ \frac{0,7V + 0,1V + 0,5b}{\frac{8V}{7} + b} = 0,6 \implies \frac{0,8V + 0,5b}{\frac{8V}{7} + b} = 0,6 \implies 0,8V + 0,5b = 0,6 \left(\frac{8V}{7} + b\right) \] \[ 0,8V + 0,5b = \frac{4,8V}{7} + 0,6b \implies 0,8V - \frac{4,8V}{7} = 0,6b - 0,5b \] \[ \frac{11,2V - 4,8V}{7 \cdot 0,1} = b \implies b = \frac{6,4}{0,7}V \] Отношение \(a : b = \frac{V}{7} : \frac{6,4}{0,7}V = 1 : 14\). Ответ: \(1:14\).
  4. При каких значениях \(a\), \(b\) и \(c\) система \[ \begin{cases} 2x - y = a,\\ x - b\,y = 2,\\ c\,x - 2y = 8 \end{cases} \] имеет бесконечное количество решений? Запишите любые два из этих решений. Решение: Система имеет бесконечно много решений, если уравнения линейно зависимы. Коэффициенты должны быть пропорциональны: \[ \frac{2}{1} = \frac{-1}{-b} = \frac{a}{2}, \quad \frac{1}{c} = \frac{-b}{-2} = \frac{2}{8} \] Решаем: \[ \frac{2}{1} = \frac{-1}{-b} \implies b = \frac{1}{2}, \quad \frac{2}{1} = \frac{a}{2} \implies a = 4 \] \[ \frac{1}{c} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2} \implies \frac{1}{c} = \frac{1}{4} \implies c = 4 \] Проверяем третье уравнение при \(x=0\), \(y=-4\): \(0 - 2(-4) = 8\); \(x=2\), \(y=0\): \(4 - 0 = 4\). Ответ: \(a=4\), \(b=0.5\), \(c=4\). Примеры решений: \((2, 0)\), \((4, 4)\).
  5. Отрезок \([0;10]\) свернули в окружность так, что точка с координатой \(0\) совпала с точкой с координатой \(10\). Все остальные точки отрезка свои координаты сохранили. Точка \(M\) с координатой \(0\) делит дугу окружности \(AB\) в отношении \(1:4\). Какие значения может принимать координата точки \(A\)? Если координата точки \(B\) равна \(6\), то какая координата будет у точки \(N\), которая делит дугу \(AB\) в отношении \(4:1\)? Решение: Окружность имеет длину 10. Отношение дуг \(AM:MB = 1:4 \implies\) длины \(2\) и \(8\). Координата \(A\) может быть \(10 - 2 = 8\) или \(0 + 2 = 2\). При \(B=6\) длина дуги \(AB = 6 - A = 10 - (6 - A) = ...\) Если \(B=6\), дуга \(AB\) имеет длину 5 (т.к. точка \(M=0\) внутри дуги делит её как \(1:4\)), тогда точка \(N\) отстоит на \(4k\) от \(A\) и \(k\) от \(B\), где \(k=1\). Координата \(N = A + 4 = 8 + 4 = 12 \mod 10 = 2\). Ответ: \(A = 2\) или \(8\); \(N=2\).
  6. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют хотя бы одному из следующих условий:
    1. абсцисса не меньше ординаты (\(x \geq y\));
    2. произведение абсциссы и ординаты больше единицы (\(xy > 1\));
    3. сумма квадратов абсциссы и ординаты больше четырёх (\(x² + y² > 4\)).
    Решение:
    1. Полуплоскость ниже и на прямой \(y = x\).
    2. Гиперболы в I и III квадрантах выше/ниже ветвей \(xy=1\).
    3. Внешность круга радиуса 2.
    Объединение: Вся плоскость, кроме внутренней части круга \(x² + y² \leq 4\), исключая области между ветвей гиперболы \(xy \leq 1\). Ответ: Графическое объединение указанных областей.
  7. Разность максимального и минимального трёхзначных чисел, которые можно составить из одинакового набора трёх цифр, две из которых совпадают, а третья отличается от них, равна \(495\). Найдите все возможные пары таких максимальных и минимальных трёхзначных чисел. Решение: Максимальное число: \(aba\) (где \(a > b\)), минимальное: \(baa\). Разность: \[ \overline{aba} - \overline{baa} = 100a + 10b + a - (100b + 10a + a) = 99a - 99b = 99(a - b) = 495 \implies a - b = 5 \] Возможные комбинации:
    • \(a=9\), \(b=4\) → 949 и 499.
    • \(a=8\), \(b=3\) → 838 и 388 (разность 450, не подходит).
    • \(a=7\), \(b=2\) → 727 - 277 = 450. Неверно. Ошибка! Случаи с другими позициями цифр:
    Правильный подход: числа вида 99x и x99. Проверяем \(99x - x99\): \[ 990 + x - (100x + 99) = 891 - 99x = 495 \implies 99x = 396 \implies x=4. \] Пары: 994 и 499, 985 и 490 (985 - 490 = 495). Ответ: (994, 499), (985, 490), (896, 401), (799, 304), (695, 209), и т.д., где разница цифр 5.
Материалы школы Юайти