ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2017

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-9-2

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 + x^6 + x^9 + \dots}{x + x^3 + x^5 + \dots} \quad\text{при }x=\frac13. \] (На основе задачи Даниила Ткачева, 10 класс, Москва)
   
   
2. Что такое неправильная дробь? Какой максимальной длины может быть интервал внутри интервала \((1;+\infty)\), чтобы на нём было меньше неправильных дробей со знаменателем 3, чем неправильных дробей с числителем 7? Ответы обосновать.
   
   
3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2\cdot y\bigr| - \bigl|x\cdot y^2\bigr| \;\le\; \bigl|x\cdot y\bigr|. \]
   
   
4. Улитка проползла 1 метр за 10 минут, при этом каждую минуту она проползала по 10 см. В каких пределах могут находиться:
   1. отношение суммы средних скоростей улитки на всех минутных интервалах пути к средней скорости улитки за весь путь;
   2. отношение средней скорости улитки за весь путь к среднему арифметическому её минимальной и максимальной скоростей в процессе пути?
   
   
   
5. Точка \(K\) находится на расстоянии \(\tfrac m2\) от точки \(A\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABC\), длины сторон которого равны \(m\). Какую максимальную площадь может иметь треугольник \(KBC\)?
   
   
6. Сколько существует четырёхзначных чисел, начинающихся с цифры 7, которые состоят из различных цифр и делятся без остатка на 90? Ответ обосновать.
   
   
7. Сколько целочисленных решений имеет система \[ \begin{cases} |x| + |y| = n,\\ x\cdot y < 0\;? \end{cases} \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^3 + x^6 + x^9 + \dots}{x + x^3 + x^5 + \dots} \quad \text{при } x = \frac{1}{3}. \]
   Решение: В числителе — сумма геометрической прогрессии: \[ S_1 = \frac{x^3}{1 - x^3}. \] В знаменателе — сумма геометрической прогрессии: \[ S_2 = \frac{x}{1 - x^2}. \] Подставляя \( x = \frac{1}{3} \): \[ S_1 = \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^3}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{27}}{\frac{26}{27}} = \frac{1}{26}, \] \[ S_2 = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{8}. \] Тогда отношение: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{1}{26}}{\frac{3}{8}} = \frac{1 \cdot 8}{26 \cdot 3} = \frac{8}{78} = \frac{4}{39}. \] Ответ: \( \frac{4}{39} \).
   
   
2. Определение неправильной дроби: дробь, где числитель больше или равен знаменателю. Для интервала \((1; +\infty)\) требуется найти максимальную длину интервала, где количество неправильных дробей со знаменателем 3 меньше, чем с числителем 7.
   Решение: Дроби со знаминателем 3: \( \frac{4}{3}, \frac{5}{3}, \frac{6}{3}, \ldots \), дроби с числителем 7: \( \frac{7}{6}, \frac{7}{5}, \frac{7}{4}, \frac{7}{3}, \frac{7}{2}, 7 \). Максимальный интервал без дробей со знаменателем 3 и максимальным количеством дробей с числителем 7 — между точками дробей \( \frac{7}{2} = 3.5 \) и \( \frac{7}{1} = 7 \). Этот интервал не содержит дробей со знаменателем 3 и имеет длину \( 7 - 3.5 = 3.5 \).
   Ответ: Максимальная длина интервала равна \( 3.5 \).
   
   
3. Неравенство \( |x^2 y| - |x y^2| \le |x y| \). Преобразуем: \[ |x y| (|x| - |y| - 1) \le 0. \] Решение: При \( |x| \le |y| + 1 \). Множество точек: внутренняя область между гиперболами \( |x| = |y| + 1 \), включая ось координат и окрестность начала координат.
   Ответ: Множество точек, где \( |x| \le |y| + 1 \), изображается как заштрихованная область между прямыми \( y = \pm(x - 1) \) и \( y = \pm(x + 1) \).
   
   
4. 1. Все минутные скорости: 10 см/мин. Сумма: \( 10 \cdot 10 = 100 \, \text{см/мин} \). Средняя скорость: 10 см/мин. Отношение: \( \frac{100}{10} = 10 \).
   2. Среднее арифметическое минимальной и максимальной скоростей: все скорости равны 10 см/мин. Отношение: \( \frac{10}{10} = 1 \).
   
   Ответ: a) 10; б) 1.
   
   
5. Точка \( K \) на окружности радиусом \( \frac{m}{2} \) от вершины \( A \) равностороннего треугольника \( ABC \). Максимальная площадь \( \triangle KBC \) достигается при максимальном расстоянии от \( K \) до \( BC \).
   Решение: Высота \( \triangle ABC \): \( \frac{\sqrt{3}}{2} m \). Расстояние от \( K \) до \( BC \) максимизируется на \( \frac{m(1 + \sqrt{3})}{2} \). Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{m(1 + \sqrt{3})}{2} = \frac{m^2 (1 + \sqrt{3})}{4}. \] Ответ: \( \frac{m^2 (1 + \sqrt{3})}{4} \).
   
   
6. Числа начинаются с 7, делятся на 90 (делятся на 10 и 9). Формат: 7***0. Сумма цифр: \( 7 + a + b + 0 \equiv 0 \, (\text{mod } 9) \). Пары \( (a, b) \): (2,9), (3,8), (5,6) с перестановками. Всего 6 чисел.
   Ответ: 6.
   
   
7. Число решений системы: \[ \begin{cases} |x| + |y| = n, \\ xy < 0. \end{cases} \] Решение: Для \( x \) и \( y \) разных знаков. Количество пар: \( 2(n - 1) \).
   Ответ: \( 2(n - 1) \).