ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2017 год

ФМШ МИЭМ

2017 год

Вариант ФМШ 2017-9-1

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^2 + x^4 + x^6 + \dots}{x + x^4 + x^7 + \dots} \quad\text{при }x=\frac12. \] (На основе задачи Даниила Ткачева, 10 класс, Москва)
   
   
2. Что такое правильная дробь? Какой максимальной длины может быть интервал внутри интервала \((0;1)\), чтобы на нём было больше правильных дробей со знаменателем 7, чем правильных дробей с числителем 3? Ответы обосновать.
   
   
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2y\bigr| - \bigl|xy^2\bigr| \;\ge\; \bigl|xy\bigr|. \]
   
   
4. Улитка проползла 1 метр за 10 минут, при этом каждую минуту она проползала по 10 см. В каких пределах могут находиться:
   1. отношение среднего арифметического средних скоростей улитки на всех минутных интервалах пути к средней скорости улитки за весь путь;
   2. отношение разности между её максимальной и минимальной скоростями в процессе пути к средней скорости улитки за весь путь.
   
   
   
5. Точка \(P\) находится на расстоянии \(2m\) от точки \(A\), являющейся вершиной равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(m\). Какую максимальную площадь может иметь треугольник \(PBC\)?
   
   
6. Сколько существует четырёхзначных чисел, начинающихся с цифры 3, которые состоят из различных цифр и делятся без остатка на 60? Ответ обосновать.
   
   
7. Сколько целочисленных решений имеет система \[ \begin{cases} |x| + |y| = n,\\ x\cdot y > 0\,? \end{cases} \]

Решения задач

1. Найдите значение выражения \[ \frac{x^2 + x^4 + x^6 + \dots}{x + x^4 + x^7 + \dots} \quad\text{при }x=\frac12. \]
   Решение: Числитель и знаменатель являются суммами геометрических прогрессий. В числителе: $x^2 + x^4 + x^6 + \dots = \frac{x^2}{1 - x^2}$ (прогрессия с первым членом $x^2$ и знаменателем $x^2$). В знаменателе: $x + x^4 + x^7 + \dots = \frac{x}{1 - x^3}$ (прогрессия с первым членом $x$ и знаменателем $x^3$). Подставим $x = \frac{1}{2}$: \[ \frac{\frac{1}{2}^2}{1 - \frac{1}{2}^2} \div \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}^3} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} \div \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{8}} = \frac{1}{3} \div \frac{4}{7} = \frac{7}{12}. \]
   Ответ: $\boxed{\dfrac{7}{12}}$.
   
   
2. Что такое правильная дробь? Какой максимальной длины может быть интервал внутри интервала \((0;1)\), чтобы на нём было больше правильных дробей со знаменателем 7, чем правильных дробей с числителем 3?
   Решение: Правильная дробь — дробь, где числитель меньше знаменателя. Дроби со знаменателем 7: \(\frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}\). Дроби с числителем 3: \(\frac{3}{4}, \frac{3}{5}, \frac{3}{6}, \frac{3}{7}, \dots\) (бесконечно много вблизи 0). Максимальный интервал, где больше дробей со знаменателем 7, — это интервал \((\frac{3}{4}; 1)\), не содержащий дробей с числителем 3. Длина интервала: \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\).
   Ответ: Длина интервала — $\boxed{\dfrac{1}{4}}$.
   
   
3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству \[ \bigl|x^2y\bigr| - \bigl|xy^2\bigr| \;\ge\; \bigl|xy\bigr|. \]
   Решение: Преобразуем неравенство: \[ |x||y|(|x| - |y| - 1) \geq 0. \] Условие разбивается на случаи:
   • Оси координат включены (\(x = 0\) или \(y = 0\)).
   • Если \(x \neq 0\) и \(y \neq 0\), то \(|x| - |y| \geq 1\).
   Множество решений включает оси координат и области:
   • В первом квадранте (\(x \geq 0, y \geq 0\)): \(x - y \geq 1\).
   • Во втором квадранте (\(x \leq 0, y \geq 0\)): \(-x - y \geq 1\).
   • В третьем квадранте (\(x \leq 0, y \leq 0\)): \(y \geq x + 1\) (при \(x \leq -1\)).
   • В четвертом квадранте (\(x \geq 0, y \leq 0\)): \(x + y \geq 1\).
   
   Ответ: Заштрихованные оси координат и указанные области.
   
   
4. Улитка проползла 1 метр за 10 минут, при этом каждую минуту она проползала по 10 см. В каких пределах находятся:
   1. Отношение среднего арифметического средних скоростей на минутных интервалах к средней скорости за весь путь.
   2. Отношение разности максимальной и минимальной скоростей к средней скорости.
   
   Решение:
   1. Среднее арифметическое средних скоростей за каждую минуту равно \(10\) см/мин. Средняя скорость за весь путь также \(10\) см/мин. Отношение: \(\frac{10}{10} = 1\).
   2. Если скорость постоянна, разность равна \(0\), и отношение — \(0\). Однако, если рассматривать мгновенные скорости, то теоретически разница может быть любой. В рамках условия задачи ответ: \(0\).
   
   Ответы: а) $\boxed{1}$, б) $\boxed{0}$.
   
   
5. Точка \(P\) находится на расстоянии \(2m\) от вершины \(A\) равностороннего треугольника \(ABC\) со стороной \(m\). Максимальная площадь треугольника \(PBC\).
   Решение: Максимальная площадь достигается, когда точка \(P\) максимально удалена от прямой \(BC\). Максимальное расстояние от \(P\) до \(BC\) равно \((\frac{4 + \sqrt{3}}{2})m\). Площадь: \[ \frac{1}{2} \cdot m \cdot \frac{(4 + \sqrt{3})m}{2} = \frac{m^2 (4 + \sqrt{3})}{4}. \]
   Ответ: $\boxed{\dfrac{m^2 (4 + \sqrt{3})}{4}}$.
   
   
6. Сколько существует четырёхзначных чисел, начинающихся с 3, состоящих из различных цифр и делящихся на 60.
   Решение: Число должно делиться на 5 (оканчивается на 0 или 5) и на 12 (на 4 и 3).
   • Последняя цифра — 0, т.к. 5 не даёт делимость на 4.
   • Предпоследняя цифра — 2, 4, 6 или 8 (для делимости на 4).
   • Сумма цифр должна делиться на 3.
   Анализ возможных комбинаций дает 10 чисел.
   Ответ: $\boxed{10}$.
   
   
7. Сколько целочисленных решений имеет система \[ \begin{cases} |x| + |y| = n,\\ x\cdot y > 0. \end{cases} \]
   Решение: Решения существуют в первом и третьем квадрантах. В каждом квадранте \((n - 1)\) решений: для положительных \(x + y = n\) (\(x, y \geq 1\)), для отрицательных \(x + y = -n\) (\(x, y \leq -1\)). Всего \(2(n - 1)\).
   Ответ: $\boxed{2(n - 1)}$.