8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-III-09-2



  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \leq 0 \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \geq 0\end{array}\right.$
  2. Что такое сочетательный закон сложения? Справедлив ли сочетательный закон для операций разности, умножения и деления? Ответы обоснуйте.
  3. Решите уравнение: $\left(\sqrt[4]{x-x^{3}}\right)^{8}-\left(\sqrt[4]{x+x^{3}}\right)^{8}=-1$
  4. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день одна правильная пчела приносит в 4 раза больше нектара, чем 4 неправильных пчелы приносят за 4 дня. Каких пчёл в улье больше и во сколько раз, если за 4 недели все пчёлы улья собрали столько же нектара, сколько одни правильные пчёлы собрали бы за 4 недели и 4 дня? (На основе задачи Романа Белинского, 8 класс, Москва)
  5. Вычислите без использования калькулятора, предварительно упростив выражение: $$ \begin{gathered} 40^{2}+40 \cdot 44+2 \cdot 44^{2}+44 \cdot 48+2 \cdot 48^{2}+48 \cdot 52+2 \cdot 52^{2}+52 \cdot 56+ \\ +2 \cdot 56^{2}+56 \cdot 60+2 \cdot 60^{2}+60 \cdot 64+2 \cdot 64^{2}+64 \cdot 68+2 \cdot 68^{2}+ \\ +68 \cdot 72+2 \cdot 72^{2}+72 \cdot 76+2 \cdot 76^{2}+76 \cdot 80+80^{2} \end{gathered} $$
  6. Центр окружности находится в центре квадрата. Какую часть диагонали данного квадрата должен составлять радиус этой окружности, чтобы она разделила этот квадрат на две части, площадь одной из которых в 4 раза больше другой?
  7. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $|6-3 x|-|x|=2 a$ имеет два различных корня. (Автор задачи: Мария Киселёва, 8 класс, Воронеж)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \leq 0 \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \geq 0\end{array}\right.$
    Решение: Преобразуем первое неравенство:
    $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \leq 0$
    Так как $x^2 + y^2 > 0$ при $x,y \neq 0$, неравенство выполняется только при $xy < 0$ (II и IV координатные четверти).
    Второе неравенство:
    $\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} \geq 0$
    В области $xy < 0$ знаменатель отрицателен. Тогда числитель должен быть неположительным:
    $x^2 - y^2 \leq 0 \Rightarrow |x| \leq |y|$
    Итоговое решение: точки II и IV четвертей, лежащие между биссектрисами $y = x$ и $y = -x$ (включая границы).
    Ответ: Заштрихованные области между линиями $y = |x|$ во II и IV четвертях.

  2. Что такое сочетательный закон сложения? Справедлив ли сочетательный закон для операций разности, умножения и деления? Ответы обоснуйте.
    Решение:
    • Сочетательный закон (ассоциативность) сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Всегда выполняется.
    • Для разности: $(a - b) - c \neq a - (b - c)$. Пример: $(5 - 3) - 2 = 0$, $5 - (3 - 2) = 4$ — не выполняется.
    • Для умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Всегда выполняется.
    • Для деления: $(a : b) : c \neq a : (b : c)$. Пример: $(8 : 4) : 2 = 1$, $8 : (4 : 2) = 4$ — не выполняется.


  3. Решите уравнение: $\left(\sqrt[4]{x-x^{3}}\right)^{8}-\left(\sqrt[4]{x+x^{3}}\right)^{8}=-1$
    Решение:
    $\left(\sqrt[4]{x(1-x^2)}\right)^8 - \left(\sqrt[4]{x(1+x^2)}\right)^8 = [x(1-x^2)]^2 - [x(1+x^2)]^2 = -1$
    Раскроем квадраты:
    $x^2(1 - 2x^2 + x^4) - x^2(1 + 2x^2 + x^4) = -4x^4 = -1$
    $x^4 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
    Проверка ОДЗ: $x(1-x^2) \geq 0$ и $x(1+x^2) \geq 0$. Для $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$: $\frac{1}{\sqrt{2}}(1 - \frac{1}{2}) > 0$ — верно.
    Ответ: $x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

  4. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день одна правильная пчела приносит в 4 раза больше нектара, чем 4 неправильных пчелы приносят за 4 дня. Каких пчёл в улье больше и во сколько раз, если за 4 недели все пчёлы улья собрали столько же нектара, сколько одни правильные пчёлы собрали бы за 4 недели и 4 дня?
    Решение:
    Пусть $P$ — число правильных пчёл, $N$ — неправильных. Производительности:
    $1$ правильная пчела/день $= 4 \cdot (4$ неправильных пчелы $\cdot 4$ дня$)$
    $\Rightarrow 1$ правильная $= 64$ неправильных пчел $\cdot$ день

    За 28 дней (4 недели):
    $28(P \cdot 64 + N) = 32 \cdot 64P$
    Упрощаем:
    $28N = 4 \cdot 64P \Rightarrow \frac{N}{P} = \frac{256}{28} = \frac{64}{7} \approx 9.14$
    Ответ: Неправильных пчёл больше в $\frac{64}{7}$ раз.

  5. Вычислите без использования калькулятора:
    $\begin{gathered} 40^{2}+40 \cdot 44+2 \cdot 44^{2}+44 \cdot 48+2 \cdot 48^{2}+48 \cdot 52+2 \cdot 52^{2}+52 \cdot 56+ \\ +2 \cdot 56^{2}+56 \cdot 60+2 \cdot 60^{2}+60 \cdot 64+2 \cdot 64^{2}+64 \cdot 68+2 \cdot 68^{2}+ \\ +68 \cdot 72+2 \cdot 72^{2}+72 \cdot 76+2 \cdot 76^{2}+76 \cdot 80+80^{2} \end{gathered}$

    Решение: Заметим закономерность для трёх последовательных членов ($a^2 + a(a+4) + 2(a+4)^2$):
    $a^2 + a(a+4) + 2(a+4)^2 = 4a^2 + 16a + 32 = 4(a^2 + 4a + 8)$
    Однако проще заметить, что сумма представляет собой квадраты чисел, кратных 4, от 40 до 80:
    $(40 + 44 + 48 + ... + 80)^2 = (40 + 80) \cdot 11 \cdot \frac{1}{2} = 120 \cdot 11 = 1320$ — неверно.
    Правильное решение: группируем слагаемые как $(40 + 44 + 48 + ... + 80)^2$. Всего 11 слагаемых с шагом 4:
    Сумма арифметической прогрессии: $S = \frac{40 + 80}{2} \cdot 11 = 60 \cdot 11 = 660$
    Квадрат суммы: $660^2 = 435600$
    Ответ: 435600.

  6. Центр окружности находится в центре квадрата. Какую часть диагонали данного квадрата должен составлять радиус этой окружности, чтобы она разделила этот квадрат на две части, площадь одной из которых в 4 раза больше другой?
    Решение: Пусть сторона квадрата $a$, диагональ $a\sqrt{2}$. Радиус окружности $r$. Площадь меньшего сегмента: $\frac{1}{5}a^2$.
    Уравнение площади сегмента:
    $\frac{r^2}{2}(\theta - \sin\theta) = \frac{a^2}{5}$, где $\theta$ — угол сегмента.
    При симметрии относительно диагонали $\theta = \frac{\pi}{2}$:
    $\frac{r^2}{2}(\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{a^2}{5} \Rightarrow r = a\sqrt{\frac{2}{5(\frac{\pi}{2} - 1)}}$
    Отношение к диагонали: $\frac{r}{a\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{1}{5(\frac{\pi}{2} - 1)}} \approx 0.6$
    Ответ: $\sqrt{\frac{2}{5(\frac{\pi}{2} - 1)}} \approx 0.6$.

  7. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $|6-3 x|-|x|=2 a$ имеет два различных корня.
    Решение: Рассмотрим три случая:
    1. $x \leq 0$: $6 - 3x + x = 6 - 2x = 2a \Rightarrow x = 3 - a$
    2. $0 < x < 2$: $6 - 3x - x = 6 - 4x = 2a \Rightarrow x = \frac{6 - 2a}{4}$
    3. $x \geq 2$: $3x - 6 - x = 2x - 6 = 2a \Rightarrow x = a + 3$
    Условия существования двух корней:
    • Для первого случая: $3 - a \leq 0 \Rightarrow a \geq 3$
    • Для второго: $0 < \frac{6 - 2a}{4} < 2 \Rightarrow -1 < a < 3$
    • Для третьего: $a + 3 \geq 2 \Rightarrow a \geq -1$
    Два корня существуют при $-1 < a < 3$, где пересекаются решения из второго и третьего случаев.
    Ответ: $a \in (-1, 3)$.
Материалы школы Юайти