8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-III-09-1



  1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют системе: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 0 \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \leq 0\end{array}\right.$
  2. Что такое переместительный закон сложения? Справедлив ли переместительный закон для операций разности, умножения и деления? Ответы обоснуйте.
  3. Решите уравнение: $\left(\sqrt[4]{x^{3}+x}\right)^{8}-\left(\sqrt[4]{x-x^{3}}\right)^{8}=1$
  4. В саду в улье живут правильные и неправильные пчёлы. В день одна правильная пчела приносит в 3 раза больше нектара, чем 3 неправильных пчелы приносят за 3 дня. Каких пчёл в улье больше и во сколько раз, если за 3 недели все пчёлы улья собрали столько же нектара, сколько одни правильные пчёы собрали бы за 3 недели и 3 дня? (На основе задачи Романа Белинского, 8 класс, Москва)
  5. Вычислите без использования калькулятора, предварительно упростив выражение: $$ \begin{gathered} 30^{2}+30 \cdot 34+2 \cdot 34^{2}+34 \cdot 38+2 \cdot 38^{2}+38 \cdot 42+2 \cdot 42^{2}+42 \cdot 46+ \\ +2 \cdot 46^{2}+46 \cdot 50+2 \cdot 50^{2}+50 \cdot 54+2 \cdot 54^{2}+54 \cdot 58+2 \cdot 58^{2}+ \\ +58 \cdot 62+2 \cdot 62^{2}+62 \cdot 66+2 \cdot 66^{2}+66 \cdot 70+70^{2} \end{gathered} $$
  6. Центр окружности находится в центре квадрата. Какую часть диагонали данного квадрата должен составлять радиус этой окружности, чтобы она разделила этот квадрат на две части, площадь одной из которых в 3 раза больше другой?
  7. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $|x|-|2 x-6|=2 a$ имеет два различных корня. (Автор задачи: Мария Киселёва, 8 класс, Воронеж)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Система: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 0 \\ \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \leq 0\end{array}\right.$
    Решение:
    1. Первое неравенство: $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} \geq 0 \implies xy > 0$ (x и y одного знака).
    2. Второе неравенство: $\frac{x^2 - y^2}{xy} \leq 0 \implies \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \leq 0$. Из первого условия (xy > 0): множители $x + y$ и $(x - y)$ должны быть разных знаков. С учётом $x$ и $y$ одного знака $\implies |x| \leq |y|$.
    Ответ: Множество точек, где $x$ и $y$ одного знака, а $|x| \leq |y|$ (включая границы, кроме начала координат).

  2. Переместительный закон:
    • Сложение: $a + b = b + a$ — справедлив.
    • Вычитание: $a - b \neq b - a$, кроме $a = b$ — несправедлив.
    • Умножение: $a \cdot b = b \cdot a$ — справедлив.
    • Деление: $\frac{a}{b} \neq \frac{b}{a}$, кроме $a = b$ — несправедлив.


  3. Уравнение: $\left(\sqrt[4]{x^{3}+x}\right)^{8}-\left(\sqrt[4]{x-x^{3}}\right)^{8}=1$
    Решение:
    Упростим: \[ (x^3 + x)^2 - (x - x^3)^2 = 1 \implies (x^6 + 2x^4 + x^2) - (x^2 - 2x^4 + x^6) = 1 \implies 4x^4 = 1 \] \[ \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{4}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Но при проверке ОДЗ: \[ x^3 + x \geq 0 \implies x \geq 0;\quad x - x^3 \geq 0 \implies x \in [0,1] \] Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

  4. Пчёлы:
    Пусть правильная пчела собирает $27d$ единиц нектара за день, неправильная — $d$. Пчёлы работали 21 день: суммарный нектар $21(27P + N) = 24 \cdot 27P$. Решаем: \[ N = \frac{216P}{7} - 27P = \frac{27P}{7} \implies \frac{P}{N} = \frac{7}{27} \] Ответ: Неправильных пчёл больше в $\frac{27}{7}$ раза.

  5. Вычисление выражения:
    Группируем члены по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: \[ \text{Исходная сумма} = (30 + 34 + 38 + \ldots +70)^2 = \left(\frac{30 +70}{2} \cdot 11\right)^2 = 550^2 = 302500 \] Ответ: $302500$.

  6. Окружность и квадрат:
    Площадь круга должна составлять $\frac{3}{4}$ площади квадрата: $\pi r^2 = \frac{3}{4}a^2 \implies r = \frac{a}{2}\sqrt{\frac{3}{\pi}}$. Диагональ квадрата равна $a\sqrt{2}$, поэтому: \[ \text{Доля радиуса от диагонали: } \frac{r}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \sqrt{\frac{3}{\pi}} \] Ответ: $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2\pi}} \cdot \text{диагонали}$.

  7. Корни уравнения: $|x| - |2x -6|=2a$
    Решение:
    Анализ графиков: функция $f(x) = |x| - |2x -6$ возрастает от $-\infty$ до 3, затем убывает. Два корня: \[ \begin{cases} a < \frac{3}{2} \\ a \neq -3 \implies \text{два корня при } a \in (-\infty, \frac{3}{2}). \end{cases} \] Ответ: $a \in (-\infty, \frac{3}{2})$.

Материалы школы Юайти