8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-III-09-2



  1. Решите уравнение: $x^{2}+y^{2}+2 x-6 y+10=0$
  2. На координатной плоскости изобразите множество точек $(x ; y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению: $$ y-|y-1|=|y-1| \cdot x $$
  3. Дан треугольник $A B_{1} B_{2} .$ На прямой $B_{1} B_{2}$ отмечена точка $B_{3}$ так, что $\left|B_{2} B_{3}\right|=\left|B_{1} B_{2}\right| .$ Затем на этой же прямой отмечена точка $B_{4}$ так, что $\left|B_{3} B_{4}\right|=\left|B_{2} B_{3}\right|$, точка $B_{5}$, что $\left|B_{4} B_{5}\right|=\left|B_{3} B_{4}\right|$ и т.д. Найдите сумму площадей треугольников: $$ A B_{1} B_{2}, A B_{3} B_{4}, A B_{5} B_{6}, A B_{7} B_{8}, \ldots, A B_{97} B_{98} $$ если известна площадь треугольника $A B_{99} B_{100} .$ Единственное ли решение имеет данная задача? Ответ обоснуйте.
  4. Чайка $A$ горизонтально летит по направлению к вершине пятиметрового столба с постоянной скоростью. В тот момент, когда чайке $A$ оставалось лететь до столба 20 м, от его подножия под углом к горизонту и по направлению к траектории движения чайки $A$ вылетела чайка $B$ с постоянной скоростью, в 3 раза меньшей скорости чайки $A$. Найдите длину пути, который пролетела чайка $A$ до столкновения с чайкой $B .$ (Автор задачи - Вячеслав Лукьянчук, 10 класс, г. Пермь.)
  5. Упростите выражение: $$ \left(7^{2}+3^{2}\right) \cdot\left(7^{4}+3^{4}\right) \cdot\left(7^{8}+3^{8}\right) \cdot\left(7^{16}+3^{16}\right) \cdot\left(7^{32}+3^{32}\right) \cdot\left(7^{64}+3^{64}\right) $$
  6. Что называется интервалом? Может ли объединение двух интервалом не являться интервалом? Может ли пересечение какого-либо количества интервалов являться отрезком? Ответы обоснуйте.
  7. При каких значениях $a$ решения уравнения $\frac{\left(9 x^{2}+(9 x)^{2}+9^{2} x\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{9}+\left(\frac{x}{9}\right)^{2}+\frac{x}{9^{2}}\right) \cdot 9}{x}=\left(a+\frac{9}{x}\right) \cdot x^{2}$ будут целыми? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, 2. Кимовск, Тульская обл.)
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \( x^{2}+y^{2}+2x-6y+10=0 \)
    Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ x^{2}+2x + y^{2}-6y +10 =0 \] Выделим полные квадраты: \[ (x+1)^2 -1 + (y-3)^2 -9 +10 =0 \implies (x+1)^2 + (y-3)^2 =0 \] Сумма квадратов равна нулю только если \(x = -1\), \(y = 3\).
    Ответ: \((-1; 3)\).
  2. На координатной плоскости изобразите множество точек \((x; y)\), удовлетворяющих уравнению: \[ y - |y-1| = |y-1| \cdot x \]
    Решение: Рассмотрим два случая: Случай 1: \( y \geq 1 \). Тогда \(|y-1|=y-1\): \[ y - (y-1) = (y-1)x \implies 1 = (y-1)x \implies x = \frac{1}{y-1} \] Гипербола \(x = \frac{1}{y-1}\) для \(y > 1\). Случай 2: \( y < 1 \). Тогда \(|y-1|=1-y\): \[ y - (1 - y) = (1 - y)x \implies 2y -1 = x(1 - y) \implies x = \frac{2y-1}{1-y} \] Упростим: \(x = -2 + \frac{1}{1-y}\). Множество точек для \( y < 1 \).
    Ответ: Объединение гипербол \(x = \frac{1}{y-1}\) (при \(y > 1\)) и \(x = \frac{2y-1}{1-y}\) (при \(y < 1\)).
  3. Дан треугольник \( AB_1B_2 \). На прямой \( B_1B_2 \) отмечены точки \( B_3, B_4, \ldots \). Найдите сумму площадей треугольников \( AB_1B_2, AB_3B_4, \ldots, AB_{97}B_{98} \), если площадь \( AB_{99}B_{100} \) равна \( S \).
    Решение: Точки \( B_i \) идут через равные расстояния \( |B_{k}B_{k+1}| = |B_1B_2| \). Основания всех треугольников равны \( |B_1B_2| \). Высота из \( A \) постоянна. Площадь каждого треугольника \( AB_{2k-1}B_{2k} \) равна \( S \). Всего треугольников \( 49 \).
    Ответ: Сумма площадей равна \( 49S \). Решение единственно.

  4. Чайка \( A \) летит к пятиметровому столбу. Чайка \( B \) вылетает от подножия со скоростью в 3 раза меньшей. Найдите путь чайки \( A \) до столкновения.
    Решение: Пусть \( v \) — скорость \( A \). Координаты чаек в момент времени \( t \): \[ x_A = 20 - vt, \quad y_A =5; \quad x_B = \frac{v}{3} \cdot t \cos\alpha, \quad y_B = \frac{v}{3} \cdot t \sin\alpha \] Столкновение: \( 20 - vt = \frac{v}{3} t \cos\alpha \), \( 5 = \frac{v}{3} t \sin\alpha \). Решив систему, получаем:
    Путь \( A \): \( \frac{90 -15\sqrt{2}}{4} \) метров.
    Ответ: \( \frac{90 -15\sqrt{2}}{4} \) м.

  5. Упростите выражение: \[ (7^2 +3^2)(7^4 +3^4)(7^8 +3^8)(7^{16} +3^{16})(7^{32} +3^{32})(7^{64} +3^{64}) \]
    Решение: Умножим и разделим на \(7^2 -3^2\): \[ \frac{(7^2 -3^2)(7^2 +3^2)(7^4 +3^4)\ldots(7^{64} +3^{64})}{7^2 -3^2} = \frac{7^{128} -3^{128}}{40} \] Ответ: \( \frac{7^{128} -3^{128}}{40} \).

  6. Интервал — множество точек между \( a \) и \( b \).
    - Объединение двух интервалов может не быть интервалом (пример: \( (1;2) \cup (3;4) \)).
    - Пересечение интервалов может быть отрезком (пример: \( [1;3] \cap [2;4] = [2;3] \)).
    Ответ: Да, объединение может не быть интервалом; да, пересечение может быть отрезком.

  7. Найдите значения \( a \), при которых решения уравнения \[ \frac{(9x^2 + (9x)^2 +9x) \cdot (\frac{x^2}{9} + (\frac{x}{9})^2 + \frac{x}{9^2}) \cdot9}{x} = \left(a+\frac{9}{x}\right) \cdot x^2 \] целы.
    Решение: Упростив уравнение, получим: \[ 100x^3 + (100 -9a)x^2 -72x =0 \implies x \cdot (100x^2 + (100-9a)x -72) =0 \] Корни \(x=0\) (недопустим) и решения \(100x^2 + (100-9a)x -72 =0\). Целыми корнями являются \(x=-1\), \(x=8\), что соответствует \(a=8\) и \(a=99\).
    Ответ: \(a=8\) и \(a=99\).
Материалы школы Юайти