8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год

Сложность:
Дата экзамена: 2016
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2016 год


Вариант ФМШ2016-09-1



  1. Решите уравнение: $\left(-1-\frac{x}{24}\right) \cdot \frac{x-3}{x-4}=\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{4}{x}-\frac{x}{4}}$
  2. Пусть $f(x)=\sqrt{x}+x$. Найдите область определения и множество значений функции $y=f\left(x^{2}\right)$ и постройте её график.
  3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему может быть равна её разность, если отношение периметра данного треугольника к его площади численно равно 2? Ответ обосновать.
  4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через четверть часа навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ одновременно с трактором. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если первый раз автомобиль встретился с трактором через 3 часа после выезда из пункта $A$?
  5. Что такое множество? Можно ли с помощью каких-либо операций над множествами из двух непустых множеств получить пустое множество? Ответ обосновать.
  6. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}2 x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-1<0 \\ \left|x^{2}-1\right|=\left|x-x^{2}\right|\end{array}\right.$
  7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, Вам поставили задачу спроектировать крышку в форме правильного треугольника вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка Вы предъявили?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: $\left(-1-\frac{x}{24}\right) \cdot \frac{x-3}{x-4}=\frac{\frac{x}{3}-\frac{3}{x}}{\frac{4}{x}-\frac{x}{4}}$
    Решение:
    ОДЗ: $x \neq 0, 4, -4$
    Преобразуем правую часть: \[ \frac{\frac{x^2 - 9}{3x}}{\frac{16 - x^2}{4x}} = \frac{4(x^2 - 9)}{3(16 - x^2)} = -\frac{4(x-3)(x+3)}{3(x-4)(x+4)} \] Левая часть: \[ -\frac{(24 + x)(x - 3)}{24(x - 4)} \] Уравнение принимает вид: \[ -\frac{(24 + x)(x - 3)}{24(x - 4)} = -\frac{4(x-3)(x+3)}{3(x-4)(x+4)} \] Сокращаем общие множители $(x-3)$ и $(x-4)$ (при $x \neq 3,4$): \[ \frac{24 + x}{24} = \frac{4(x+3)}{3(x+4)} \] Умножаем обе части на $24 \cdot 3(x+4)$: \[ 3(24 + x)(x + 4) = 96(x + 3) \] Раскрываем скобки: \[ 3x^2 + 84x + 288 = 96x + 288 \] Упрощаем: \[ 3x^2 - 12x = 0 \Rightarrow x(x - 4) = 0 \] Корни: $x = 0$ (не входит в ОДЗ) и $x = 4$ (не входит в ОДЗ). Проверяем исходное уравнение при $x = 3$:
    Левая часть: $\left(-1-\frac{3}{24}\right) \cdot 0 = 0$
    Правая часть: $\frac{1 - 1}{\frac{4}{3} - \frac{3}{4}} = 0$
    Ответ: $x = 3$.

  2. Пусть $f(x)=\sqrt{x}+x$. Найдите область определения и множество значений функции $y=f\left(x^{2}\right)$ и постройте её график.
    Решение:
    Область определения: $x^2 \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.
    Функция: $y = |x| + x^2$
    Множество значений:
    • При $x \geq 0$: $y = x + x^2 \geq 0$, возрастает на $[0, +\infty)$
    • При $x < 0$: $y = -x + x^2 = x^2 - x$, минимум в $x = \frac{1}{2}$: $y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$ (но при $x < 0$ минимум достигается в $x = \frac{1}{2}$, что противоречит области)
      Корректный анализ: при $x < 0$, $y = x^2 - x$ — парабола ветвями вверх с минимумом в $x = \frac{1}{2}$ (не входит в область $x < 0$). На $(-\infty, 0)$ функция убывает от $+\infty$ до $0$.
    Множество значений: $[0, +\infty)$
    График: симметричен относительно оси Y, при $x \geq 0$ — парабола $y = x^2 + x$, при $x < 0$ — парабола $y = x^2 - x$.

  3. Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему может быть равна её разность, если отношение периметра данного треугольника к его площади численно равно 2? Ответ обосновать.
    Решение:
    Пусть стороны: $a - d$, $a$, $a + d$. По теореме Пифагора: \[ (a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2 \Rightarrow a^2 - 2ad + d^2 + a^2 = a^2 + 2ad + d^2 \Rightarrow a = 4d \] Стороны: $3d$, $4d$, $5d$
    Периметр: $12d$, площадь: $6d^2$
    Отношение: $\frac{12d}{6d^2} = \frac{2}{d} = 2 \Rightarrow d = 1$
    Ответ: разность прогрессии равна 1.

  4. Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через четверть часа навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ одновременно с трактором. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если первый раз автомобиль встретился с трактором через 3 часа после выезда из пункта $A$?
    Решение:
    Пусть $S$ — расстояние между пунктами, $v$ — скорость автомобиля, $u$ — скорость трактора.
    Первая встреча через 3 часа: \[ 3v + 2.75u = S \] Время движения автомобиля: $\frac{2S}{v} = 2.75 + \frac{S}{u}$
    Решаем систему: \[ \begin{cases} 3v + 2.75u = S \\ \frac{2S}{v} = 2.75 + \frac{S}{u} \end{cases} \] Подставляя $S = 3v + 2.75u$ во второе уравнение: \[ \frac{2(3v + 2.75u)}{v} = 2.75 + \frac{3v + 2.75u}{u} \] Упрощая, получаем квадратное уравнение: \[ 6k^2 - 6k - 11 = 0 \quad (k = v/u) \] Решение: \[ k = \frac{3 + 5\sqrt{3}}{6} \] Ответ: в $\frac{3 + 5\sqrt{3}}{6}$ раз.

  5. Что такое множество? Можно ли с помощью каких-либо операций над множествами из двух непустых множеств получить пустое множество? Ответ обосновать.
    Ответ:
    Множество — неупорядоченная совокупность различных элементов. Да, пустое множество можно получить операциями над непустыми множествами, например:
    • Пересечение непересекающихся множеств: $A \cap B = \varnothing$
    • Разность: $A \setminus A = \varnothing$


  6. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}2 x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-1<0 \\ \left|x^{2}-1\right|=\left|x-x^{2}\right|\end{array}\right.$
    Решение:
    Уравнение: $|x^2 - 1| = |x(1 - x)|$
    Решения: $x = 1$ (не подходит в неравенство), $x = -0.5$
    Проверка неравенства при $x = -0.5$: \[ 2\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 1 = -\frac{1}{4} < 0 \] Ответ: $x = -0.5$.

  7. Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, Вам поставили задачу спроектировать крышку в форме правильного треугольника вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка Вы предъявили?
    Ответ:
    • Круглая форма предотвращает падение крышки в люк при любом повороте
    • Для треугольной крышки:
      • Сторона треугольника должна превышать максимальный размер отверстия
      • Отверстие должно иметь выступы, препятствующие повороту крышки
      • Центр масс должен совпадать с геометрическим центром для устойчивости
Материалы школы Юайти