ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год

ФМШ МИЭМ

2016 год

Вариант ФМШ2016-II-09-1

1. Решите уравнение: $x^{2}+y^{2}-4 x+2 y+5=0$
2. На координатной плоскости изобразите множество точек $(x ; y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению: $$ y+|y+1|=x \cdot|y+1| $$
3. Дан треугольник $A B_{1} B_{2}$. На прямой $B_{1} B_{2}$ отмечена точка $B_{3}$ так, что $\left|B_{2} B_{3}\right|=\left|B_{1} B_{2}\right| .$ Затем на этой же прямой отмечена точка $B_{4}$ так, что $\left|B_{3} B_{4}\right|=\left|B_{2} B_{3}\right|$, точка $B_{5}$, что $\left|B_{4} B_{5}\right|=\left|B_{3} B_{4}\right|$ и т.д. Найдите сумму площадей треугольников: $$ A B_{2} B_{3}, A B_{4} B_{5}, A B_{6} B_{7}, A B_{8} B_{9}, \ldots, A B_{98} B_{99} $$ если известна площадь треугольника $A B_{100} B_{101} .$ Единственное ли решение имеет данная задача? Ответ обоснуйте.
4. Чайка $A$ горизонтально летит по направлению к вершине десятиметрового столба с постоянной скоростью. В тот момент, когда чайке $A$ оставалось лететь до столба 30 м, от его подножия под углом к горизонту и по направлению к траектории движения чайки $A$ вылетела чайка $B$ с постоянной скоростью, в 2 раза меньшей скорости чайки $A$. Найдите длину пути, который пролетела чайка $A$ до столкновения с чайкой $Б .$ (Автор задачи - Вячеслав Лукьянчук, 10 класс, г. Пермь.)
5. Упростите выражение: $$ \left(9^{2}+5^{2}\right) \cdot\left(9^{4}+5^{4}\right) \cdot\left(9^{8}+5^{8}\right) \cdot\left(9^{16}+5^{16}\right) \cdot\left(9^{32}+5^{32}\right) \cdot\left(9^{64}+5^{64}\right) $$
6. Что называется отрезком? Может ли пересечение двух отрезков не являться отрезком? Может ли объединение какого-либо количества отрезков являться интервалом? Ответы обоснуйте.
7. При каких значениях а решения уравнения $$ \frac{\left(7 x^{2}+(7 x)^{2}+7^{2} x\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{7}+\left(\frac{x}{7}\right)^{2}+\frac{x}{7^{2}}\right) \cdot 7}{x}=\left(a+\frac{7}{x}\right) \cdot x^{2} $$ будут целыми? (На основе задачи Даниила Ермохина, 8 класс, 2. Кимовск, Тульская обл.)

Решения задач

1. Решите уравнение: $x^{2}+y^{2}-4x+2y+5=0$
   Решение: Выделим полные квадраты:
   $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = 0$
   $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 0$
   Сумма квадратов равна нулю только при $x = 2$, $y = -1$.
   Ответ: $(2; -1)$.
   
   
2. На координатной плоскости изобразите множество точек $(x ; y)$, координаты которых удовлетворяют уравнению:
   $y+|y+1|=x \cdot|y+1|$
   Решение: Рассмотрим два случая:
   Случай 1: $y + 1 \geq 0$ ($y \geq -1$)
   Уравнение принимает вид:
   $y + y + 1 = x(y + 1)$
   $2y + 1 = x(y + 1)$
   $x = \frac{2y + 1}{y + 1} = 2 - \frac{1}{y + 1}$ (гипербола при $y > -1$).
   Случай 2: $y + 1 < 0$ ($y < -1$)
   Уравнение принимает вид:
   $y - (y + 1) = -x(y + 1)$
   $-1 = -x(y + 1)$
   $x = \frac{1}{y + 1}$ (гипербола при $y < -1$).
   Ответ: Множество точек состоит из гиперболы $x = \frac{1}{y + 1}$ при $y -1$.
   
   
3. Дан треугольник $A B_{1} B_{2}$. На прямой $B_{1} B_{2}$ отмечена точка $B_{3}$ так, что $\left|B_{2} B_{3}\right|=\left|B_{1} B_{2}\right| .$ Затем на этой же прямой отмечена точка $B_{4}$ так, что $\left|B_{3} B_{4}\right|=\left|B_{2} B_{3}\right|$, точка $B_{5}$, что $\left|B_{4} B_{5}\right|=\left|B_{3} B_{4}\right|$ и т.д. Найдите сумму площадей треугольников:
   $A B_{2} B_{3}, A B_{4} B_{5}, A B_{6} B_{7}, A B_{8} B_{9}, \ldots, A B_{98} B_{99}$
   если известна площадь треугольника $A B_{100} B_{101} .$ Единственное ли решение имеет данная задача? Ответ обоснуйте.
   Решение: Каждый следующий треугольник имеет площадь, вдвое большую предыдущего (так как основание удваивается при постоянной высоте). Образуется геометрическая прогрессия с $q = 2$. Сумма площадей:
   $S = S_{100} \cdot (2^{49} - 1)$
   Задача имеет единственное решение, так как все параметры однозначно определяются условием.
   Ответ: $S = S_{100} \cdot (2^{49} - 1)$, решение единственно.
   
   
4. Чайка $A$ горизонтально летит по направлению к вершине десятиметрового столба с постоянной скоростью. В тот момент, когда чайке $A$ оставалось лететь до столба 30 м, от его подножия под углом к горизонту и по направлению к траектории движения чайки $A$ вылетела чайка $B$ с постоянной скоростью, в 2 раза меньшей скорости чайки $A$. Найдите длину пути, который пролетела чайка $A$ до столкновения с чайкой $Б .$
   Решение: Пусть скорость чайки $A$ равна $v$, тогда скорость чайки $B$ равна $\frac{v}{2}$. Время до столкновения $t$:
   $30 - vt = \frac{v}{2}t \cdot \cos\alpha$
   Высота столкновения:
   $10 = \frac{v}{2}t \cdot \sin\alpha$
   Решая систему, получаем $vt = 20$ м.
   Ответ: 20 метров.
   
   
5. Упростите выражение:
   $\left(9^{2}+5^{2}\right) \cdot\left(9^{4}+5^{4}\right) \cdot\left(9^{8}+5^{8}\right) \cdot\left(9^{16}+5^{16}\right) \cdot\left(9^{32}+5^{32}\right) \cdot\left(9^{64}+5^{64}\right)$
   Решение: Используем формулу произведения вида $(a + b)(a^2 + b^2)...(a^{2^n} + b^{2^n}) = \frac{a^{2^{n+1}} - b^{2^{n+1}}}{a - b}$:
   $\frac{9^{128} - 5^{128}}{9 - 5} = \frac{9^{128} - 5^{128}}{4}$
   Ответ: $\frac{9^{128} - 5^{128}}{4}$.
   
   
6. Что называется отрезком? Может ли пересечение двух отрезков не являться отрезком? Может ли объединение какого-либо количества отрезков являться интервалом? Ответы обоснуйте.
   Решение:
   Отрезок — часть прямой между двумя точками.
   Пересечение двух отрезков может быть точкой (не отрезком).
   Объединение отрезков может быть интервалом, если они перекрываются с промежутком.
   Ответ: Да, пересечение может быть точкой; да, объединение может быть интервалом.
   
   
7. При каких значениях а решения уравнения
   $\frac{\left(7 x^{2}+(7 x)^{2}+7^{2} x\right) \cdot\left(\frac{x^{2}}{7}+\left(\frac{x}{7}\right)^{2}+\frac{x}{7^{2}}\right) \cdot 7}{x}=\left(a+\frac{7}{x}\right) \cdot x^{2}$
   будут целыми?
   Решение: После упрощения уравнение сводится к:
   $64x^2 + (64 - a)x = 0$
   Решение: $x = \frac{a - 64}{64}$. Для целых $x$ необходимо $a = 64k$, где $k \in \mathbb{Z}$, $k \neq 1$.
   Ответ: $a = 64k$, $k \in \mathbb{Z}$, $k \neq 1$.