ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2016 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2016 год
Вариант ФМШ2016-09-2
- Решите уравнение: $\frac{\frac{x}{2}-\frac{2}{x}}{\frac{3}{x}-\frac{x}{3}}=\frac{x-2}{x-3} \cdot\left(-\frac{x}{12}-1\right)$
- Пусть $f(x)=\sqrt{x}-x$. Найдите область определения и множество значений функции $y=f\left(x^{2}\right)$ и постройте её график.
- Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему может быть равна её разность, если периметр данного треугольника численно равен его площади? Ответ обосновать.
- Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через полчаса навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ одновременно с трактором. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если первый раз автомобиль встретился с трактором через 4 часа после выезда из пункта $A$?
- Дайте определение подмножества. Можно ли с помощью каких-либо операций над множествами из двух различных подмножеств одного множества получить пустое множество? Ответ обосновать.
- Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}x^{4}-2 x^{3}-x^{2}+3<0 \\ \left|3-x^{2}\right|=\left|x^{2}-x\right|\end{array}\right.$
- Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, Вам поставили задачу спроектировать крышку квадратной формы вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка Вы предъявили?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите уравнение: $\frac{\frac{x}{2}-\frac{2}{x}}{\frac{3}{x}-\frac{x}{3}}=\frac{x-2}{x-3} \cdot\left(-\frac{x}{12}-1\right)$
Решение: Упростим левую часть: \[ \frac{\frac{x^2 - 4}{2x}}{\frac{9 - x^2}{3x}} = \frac{3(x^2 - 4)}{2(9 - x^2)} = \frac{3(x-2)(x+2)}{2(3-x)(3+x)} = \frac{3(x-2)}{2(x-3)} \] Правая часть: \[ \frac{x-2}{x-3} \cdot \left(-\frac{x + 12}{12}\right) \] Уравнение принимает вид: \[ \frac{3(x-2)}{2(x-3)} = \frac{(x-2)(-x - 12)}{12(x-3)} \] После преобразований: \[ (x - 2)(x + 30) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \text{ или } x = -30 \] Проверка ОДЗ: $x \neq 0, 3$. Оба корня подходят.
Ответ: $2$, $-30$.
- Пусть $f(x)=\sqrt{x}-x$. Найдите область определения и множество значений функции $y=f\left(x^{2}\right)$ и постройте её график.
Решение: \[ y = f(x^2) = |x| - x^2 \]- Область определения: $x \in \mathbb{R}$.
- Множество значений:
- При $x \geq 0$: $y = x - x^2 \in (-\infty, 0.25]$.
- При $x < 0$: $y = -x - x^2 \in (-\infty, 0.25]$.
Ответ: $D(y) = \mathbb{R}$, $E(y) = (-\infty, 0.25]$.
- Длины сторон прямоугольного треугольника образуют арифметическую прогрессию. Чему может быть равна её разность, если периметр данного треугольника численно равен его площади? Ответ обосновать.
Решение: Пусть стороны: $a - d$, $a$, $a + d$. По теореме Пифагора: \[ (a - d)^2 + a^2 = (a + d)^2 \quad \Rightarrow \quad a = 4d \] Стороны: $3d$, $4d$, $5d$. Периметр: $12d$, площадь: $6d^2$. Условие: \[ 12d = 6d^2 \quad \Rightarrow \quad d = 2 \] Ответ: $2$.
- Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автомобиль, а через полчаса навстречу ему из пункта $B$ выехал трактор. Автомобиль, доехав до пункта $B$, развернулся и поехал обратно, приехав в пункт $A$ одновременно с трактором. Оба транспортных средства двигались с постоянной скоростью. Во сколько раз скорость автомобиля больше скорости трактора, если первый раз автомобиль встретился с трактором через 4 часа после выезда из пункта $A$?
Решение: Пусть $v$ — скорость автомобиля, $u$ — трактора, $S$ — расстояние между пунктами. Первая встреча: \[ 4v + 3.5u = S \] Общее время движения автомобиля: \[ 4 + \frac{3.5u}{v} + \frac{S}{v} = \frac{S}{u} \] Подставляя $S = 4v + 3.5u$, получаем уравнение: \[ 8 + \frac{7u}{v} = \frac{4v}{u} + 3.5 \] Решая относительно $k = \frac{v}{u}$, находим $k = 2$.
Ответ: в $2$ раза.
- Дайте определение подмножества. Можно ли с помощью каких-либо операций над множествами из двух различных подмножеств одного множества получить пустое множество? Ответ обосновать.
Решение:- Подмножество — множество, все элементы которого принадлежат исходному множеству.
- Да, например, пересечение двух непересекающихся подмножеств даёт пустое множество.
- Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}x^{4}-2 x^{3}-x^{2}+3<0 \\ \left|3-x^{2}\right|=\left|x^{2}-x\right|\end{array}\right.$
Решение: Второе уравнение: \[ |3 - x^2| = |x^2 - x| \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Проверка первого неравенства при $x = 3$: \[ 3^4 - 2 \cdot 3^3 - 3^2 + 3 = 21 > 0 \] Неравенство не выполняется.
Ответ: решений нет.
- Почему крышки канализационных люков, как правило, делают круглыми? Если бы, тем не менее, Вам поставили задачу спроектировать крышку квадратной формы вместо круглой, то какие требования к новой конструкции люка Вы предъявили?
Ответ:- Круглая форма предотвращает падение крышки в колодец благодаря постоянному диаметру.
- Для квадратной крышки необходимо, чтобы диагональ превышала размер отверстия, а также предусмотреть фиксацию против смещения.
Материалы школы Юайти