ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015

\Large{ФМШ МИЭМ}\\ \large{2015 год}\\ \large{Вариант ФМШ2015-III-09-2} \begin{enumerate} \item Сравните без использования калькулятора: $$ \sqrt{2013}+\sqrt{2017} \text { и } 2 \sqrt{2015} $$ \item Пусть $f(x)=\frac{2}{|x|+x}$. Постройте графики следующих функций: $y=f(x), y=f(f(x))$ и $y=f\left(\frac{1}{f(x)}\right) .$ \item Какой треугольник называется тупоугольным? Можно ли тупоугольный треугольник разрезать на 2 треугольника, только один из которых будет прямоугольным? А на 2 тупоугольных треугольника? Ответы обоснуйте. \item Мимо скучающей на дереве вороны проехал с постоянной скоростью велосипедист. Через час с того же дерева ворона увидела ещё одного велосипедиста, ехавшего за первым велосипедистом также с постоянной скоростью, на четверть большей скорости первого велосипедиста. Подумав полчаса, ворона полетела вслед за велосипедистами со скоростью в 4 раза большей скорости второго велосипедиста. Долетев до первого велосипедиста, она полетела обратно, затем, долетев до второго, снова полетела к первому. Так она летала до тех пор, пока второй велосипедист не догнал первого. Сколько времени летала ворона от момента, когда она первый раз догнала второго велосипедиста? \item Решите неравенство: || $3-x|+x|-3>|x-3|$ \item Определите, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-a x+a-3=0$ принимает наименьшее значение, и найдите это значение. \item Сумма остатков от деления некоторого числа на числа 4,6 и 15 равна 22. Чему может быть равен остаток от деления этого числа на $24 ?$ \end{enumerate}

Решения задач

1. Сравните без использования калькулятора:
   $\sqrt{2013}+\sqrt{2017} \text { и } 2 \sqrt{2015}$
   Решение: Возведем обе части в квадрат:
   $(\sqrt{2013} + \sqrt{2017})^2 = 2013 + 2017 + 2\sqrt{2013 \cdot 2017} = 4030 + 2\sqrt{(2015-2)(2015+2)} = 4030 + 2\sqrt{2015^2 - 4}$
   $(2\sqrt{2015})^2 = 4 \cdot 2015 = 8060$
   Сравним выражения под корнями:
   $\sqrt{2015^2 - 4} < 2015 \Rightarrow 2\sqrt{2015^2 - 4} < 2 \cdot 2015 = 4030$
   Тогда $4030 + 2\sqrt{2015^2 - 4} < 4030 + 4030 = 8060$
   Ответ: $\sqrt{2013} + \sqrt{2017} < 2\sqrt{2015}$.
   
   
2. Пусть $f(x)=\frac{2}{|x|+x}$. Постройте графики следующих функций: $y=f(x), y=f(f(x))$ и $y=f\left(\frac{1}{f(x)}\right) .$
   Решение:
   Анализ функции $f(x)$:
   При $x > 0$: $|x| = x \Rightarrow f(x) = \frac{2}{x + x} = \frac{1}{x}$
   При $x \leq 0$: знаменатель $|x| + x = -x + x = 0$ — функция не определена.
   График $y = f(x)$ — гипербола $y = \frac{1}{x}$ в правой полуплоскости ($x > 0$).
   Для $y = f(f(x))$:
   При $x > 0$: $f(f(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$
   График — прямая $y = x$ при $x > 0$.
   Для $y = f\left(\frac{1}{f(x)}\right)$:
   При $x > 0$: $\frac{1}{f(x)} = x \Rightarrow f(x) = \frac{1}{x}$ — совпадает с исходной функцией.
   Ответ: Графики:
   - $y = f(x)$: гипербола $y = 1/x$ для $x > 0$;
   - $y = f(f(x))$: прямая $y = x$ для $x > 0$;
   - $y = f\left(\frac{1}{f(x)}\right)$: совпадает с $y = f(x)$.
   
   
3. Какой треугольник называется тупоугольным? Можно ли тупоугольный треугольник разрезать на 2 треугольника, только один из которых будет прямоугольным? А на 2 тупоугольных треугольника? Ответы обоснуйте.
   Решение:
   Тупоугольный треугольник имеет один угол $>90^\circ$.
   1. Да, можно. Проведем высоту из тупого угла на противоположную сторону. Получим прямоугольный треугольник (с высотой) и четырёхугольник. Разрежем по высоте: один треугольник прямоугольный, второй — остроугольный.
   2. Нет. При разрезании тупоугольного треугольника любой прямой линией, один из новых углов будет $\leq90^\circ$ (сумма углов в треугольнике $180^\circ$). Поэтому оба новых треугольника не могут быть тупоугольными.
   Ответ: Да; Нет.
   
   
4. Мимо скучающей на дереве вороны проехал с постоянной скоростью велосипедист. Через час с того же дерева ворона увидела ещё одного велосипедиста, ехавшего за первым велосипедистом также с постоянной скоростью, на четверть большей скорости первого велосипедиста. Подумав полчаса, ворона полетела вслед за велосипедистами со скоростью в 4 раза большей скорости второго велосипедиста. Долетев до первого велосипедиста, она полетела обратно, затем, долетев до второго, снова полетела к первому. Так она летала до тех пор, пока второй велосипедист не догнал первого. Сколько времени летала ворона от момента, когда она первый раз догнала второго велосипедиста?
   Решение:
   Пусть скорость первого велосипедиста $v$, тогда скорость второго $1.25v$, скорость вороны $5v$.
   К моменту старта вороны ($t = 1.5$ часа после первого велосипедиста):
   Расстояние между велосипедистами: $v \cdot 1.5 - 1.25v \cdot 0.5 = 0.875v$
   Время до встречи велосипедистов: $\frac{0.875v}{1.25v - v} = 3.5$ часа
   Ворона летала всё это время: $3.5$ часа
   Ответ: 3,5 часа.
   
   
5. Решите неравенство: || $3-x|+x|-3>|x-3|$
   Решение:
   Рассмотрим случаи:
   1. $x \geq 3$:
   $|3 - x| = x - 3$, тогда:
   $|(x - 3 + x) - 3| = |2x - 6| = 2x - 6$
   Неравенство: $2x - 6 - 3 > x - 3 \Rightarrow 2x - 9 > x - 3 \Rightarrow x > 6$
   2. $x < 3$:
   $|3 - x| = 3 - x$, тогда:
   $|(3 - x + x) - 3| = |0| = 0$
   Неравенство: $0 - 3 > 3 - x \Rightarrow -3 > 3 - x \Rightarrow x > 6$ — противоречие
   Ответ: $x > 6$.
   
   
6. Определите, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-a x+a-3=0$ принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
   Решение:
   Сумма квадратов корней: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = a^2 - 2(a - 3) = a^2 - 2a + 6$
   Минимум квадратичной функции достигается при $a = \frac{2}{2} = 1$
   Значение: $1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = 5$
   Ответ: При $a = 1$, минимальное значение 5.
   
   
7. Сумма остатков от деления некоторого числа на числа 4,6 и 15 равна 22. Чему может быть равен остаток от деления этого числа на $24 ?$
   Решение:
   Максимальные остатки: $3$ (для 4), $5$ (для 6), $14$ (для 15). Их сумма $3 + 5 + 14 = 22$.
   Значит, число $N$ удовлетворяет:
   $N \equiv 3 \mod 4$, $N \equiv 5 \mod 6$, $N \equiv 14 \mod 15$
   Решаем систему:
   Из третьего уравнения: $N = 15k + 14$
   Подставляем в первое: $15k + 14 \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 3k + 2 \equiv 3 \mod 4 \Rightarrow 3k \equiv 1 \mod 4 \Rightarrow k \equiv 3 \mod 4$
   Тогда $k = 4m + 3$, $N = 15(4m + 3) + 14 = 60m + 59$
   Проверяем второе уравнение: $60m + 59 \equiv 5 \mod 6 \Rightarrow 0 + 59 \equiv 5 \mod 6 \Rightarrow 59 \equiv 5 \mod 6$ — верно
   Остаток от деления на 24: $60m + 59 \equiv 12m + 11 \mod 24$
   При $m = 0$: $11$; при $m = 1$: $23$; далее цикл повторяется
   Ответ: 11 или 23.