ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015 год

\Large{ФМШ МИЭМ}\\ \large{2015 год}\\ \large{Вариант ФМШ2015-III-09-1} \begin{enumerate} \item Сравните без использования калькулятора: $$ \sqrt{2014}+\sqrt{2016} \text { и } 2 \sqrt{2015} $$ \item Пусть $f(x)=\frac{1}{|x|+x}$. Постройте графики следующих функций: $y=f(x), y=f(f(x))$ и $y=f\left(\frac{1}{f(x)}\right) .$ \item Какой треугольник называется остроугольным? Можно ли остроугольный треугольник разрезать на 2 треугольника, только один из которых будет прямоугольным? А на 2 остроугольных треугольника? Ответы обоснуйте. \item Мимо скучающей на дереве вороны проехал с постоянной скоростью велосипедист. Через час с того же дерева ворона увидела ещё одного велосипедиста, ехавшего за первым велосипедистом также с постоянной скоростью, на треть большей скорости первого велосипедиста. Подумав четверть часа, ворона полетела вслед за велосипедистами со скоростью в 3 раза большей скорости второго велосипедиста. Долетев до первого велосипедиста, она полетела обратно, затем, долетев до второго, снова полетела к первому. Так она летала до тех піор, пока второй веот момента, когда она первый раз догнала второго велосипедиста? \item Решите неравенство: ||$x-2|-x|-2>|2-x|$ \item Определите, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-a x+a-2=0$ принимает наименьшее значение, и найдите это значение. \item Сумма остатков от деления некоторого числа на числа 4,8 и 10 равна 19. Чему может быть равен остаток от деления этого числа на 16? \end{enumerate}

Решения задач

1. Сравните без использования калькулятора:
   $\sqrt{2014}+\sqrt{2016} \text{ и } 2 \sqrt{2015}$
   Решение: Возведем обе части в квадрат:
   $(\sqrt{2014} + \sqrt{2016})^2 = 2014 + 2\sqrt{2014 \cdot 2016} + 2016 = 4030 + 2\sqrt{(2015-1)(2015+1)} = 4030 + 2\sqrt{2015^2 - 1}$
   $(2\sqrt{2015})^2 = 4 \cdot 2015 = 8060$
   Сравним:
   $4030 + 2\sqrt{2015^2 - 1} < 4030 + 2\sqrt{2015^2} = 4030 + 4030 = 8060$
   Следовательно, $\sqrt{2014} + \sqrt{2016} < 2\sqrt{2015}$
   Ответ: $\sqrt{2014}+\sqrt{2016} < 2\sqrt{2015}$.
   
   
2. Пусть $f(x)=\frac{1}{|x|+x}$. Постройте графики следующих функций: $y=f(x), y=f(f(x))$ и $y=f\left(\frac{1}{f(x)}\right)$.
   Решение:
   • $f(x) = \frac{1}{|x| + x}$:
     При $x \geq 0$: $|x| = x \Rightarrow f(x) = \frac{1}{2x}$ (гипербола в правой полуплоскости)
     При $x < 0$: $|x| = -x \Rightarrow f(x) = \frac{1}{0}$ — не определено
   • $f(f(x))$:
     Для $x > 0$: $f(x) = \frac{1}{2x} \Rightarrow f(f(x)) = f\left(\frac{1}{2x}\right) = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2x}} = x$ (прямая $y = x$ при $x > 0$)
   • $f\left(\frac{1}{f(x)}\right)$:
     Для $x > 0$: $\frac{1}{f(x)} = 2x \Rightarrow f(2x) = \frac{1}{4x}$ (гипербола $y = \frac{1}{4x}$ при $x > 0$)
   Ответ: Графики:
   • $y = f(x)$: гипербола $\frac{1}{2x}$ при $x > 0$
   • $y = f(f(x))$: прямая $y = x$ при $x > 0$
   • $y = f\left(\frac{1}{f(x)}\right)$: гипербола $\frac{1}{4x}$ при $x > 0$
   
   
   
3. Какой треугольник называется остроугольным? Можно ли остроугольный треугольник разрезать на 2 треугольника, только один из которых будет прямоугольным? А на 2 остроугольных треугольника? Ответы обоснуйте.
   Решение:
   • Остроугольный треугольник — все углы меньше $90^\circ$
   • Разрезание на 1 прямоугольный: Невозможно. Любой разрез через высоту создаст два прямоугольных треугольника
   • Разрезание на 2 остроугольных: Невозможно. При любом разрезе хотя бы один из новых треугольников будет содержать прямой или тупой угол
   Ответ: Нет, нельзя разрезать ни на один прямоугольный, ни на два остроугольных.
   
   
4. Мимо скучающей на дереве вороны проехал с постоянной скоростью велосипедист. Через час с того же дерева ворона увидела ещё одного велосипедиста, ехавшего за первым велосипедистом также с постоянной скоростью, на треть большей скорости первого велосипедиста. Подумав четверть часа, ворона полетела вслед за велосипедистами со скоростью в 3 раза большей скорости второго велосипедиста. Долетев до первого велосипедиста, она полетела обратно, затем, долетев до второго, снова полетела к первому. Так она летала до тех пор, пока второй велосипедист не догнал первого. Сколько времени летала ворона до момента, когда она первый раз догнала второго велосипедиста?
   Решение:
   • Скорости: $v_1 = v$, $v_2 = \frac{4}{3}v$, $v_{\text{вор}} = 4v$
   • К моменту старта вороны:
     Первый проехал $1.25v$, второй — $0.25 \cdot \frac{4}{3}v = \frac{1}{3}v$
     Расстояние между ними: $1.25v - \frac{1}{3}v = \frac{11}{12}v$
   • Время до встречи с первым: $\frac{\frac{11}{12}v}{4v - v} = \frac{11}{36}$ часа
   • Обратный полет ко второму:
     Расстояние: $4v \cdot \frac{11}{36} - \frac{4}{3}v \cdot \frac{11}{36} = \frac{44}{36}v - \frac{44}{108}v = \frac{88}{108}v = \frac{22}{27}v$
     Время: $\frac{\frac{22}{27}v}{4v + \frac{4}{3}v} = \frac{22}{27} \cdot \frac{3}{16} = \frac{11}{72}$ часа
   • Общее время: $\frac{11}{36} + \frac{11}{72} = \frac{33}{72} = \frac{11}{24}$ часа = 27.5 минут
   Ответ: $\frac{11}{24}$ часа (27.5 минут).
   
   
5. Решите неравенство: $||x-2|-x|-2 > |2-x|$
   Решение:
   • Случай $x \geq 2$: $|x-2| = x-2$
     $||x-2|-x| = |(x-2)-x| = |-2| = 2$
     Неравенство: $2 - 2 > |2 - x| \Rightarrow 0 > |x-2|$ — решений нет
   • Случай $x < 2$: $|x-2| = 2 - x$
     $||2-x -x| -2| = |2-2x| -2 > |2 - x|$
     Подслучай $x \leq 1$: $|2-2x| = 2-2x$
     Неравенство: $2-2x -2 > 2 - x \Rightarrow -2x > 2 - x \Rightarrow x < -2$
     Подслучай $1 < x < 2$: $|2-2x| = 2x-2$
     Неравенство: $2x-2 -2 > 2 - x \Rightarrow 2x-4 > 2 - x \Rightarrow 3x > 6 \Rightarrow x > 2$ — противоречие
   Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.
   
   
6. Определите, при каких значениях а сумма квадратов корней уравнения $x^{2}-a x+a-2=0$ принимает наименьшее значение, и найдите это значение.
   Решение:
   • Сумма квадратов: $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = a^2 - 2(a-2) = a^2 - 2a + 4$
   • Минимум квадратичной функции достигается при $a = \frac{2}{2} = 1$
   • Проверка дискриминанта при $a=1$: $D = 1 - 4(1-2) = 5 > 0$
   • Значение суммы: $1^2 - 2(1) + 4 = 3$
   Ответ: При $a=1$, минимальная сумма квадратов равна 3.
   
   
7. Сумма остатков от деления некоторого числа на числа 4,8 и 10 равна 19. Чему может быть равен остаток от деления этого числа на 16?
   Решение:
   • Максимальные остатки: $r_1=3$, $r_2=7$, $r_3=9$ (сумма 19)
   • Число $N \equiv 3 \mod 4$, $N \equiv 7 \mod 8$, $N \equiv 9 \mod 10$
   • Решение системы:
     $N = 10k + 9 \equiv 7 \mod 8 \Rightarrow 10k + 9 \equiv 2k + 1 \equiv 7 \mod 8 \Rightarrow 2k \equiv 6 \mod 8 \Rightarrow k \equiv 3 \mod 4$
     $N = 10(4m+3) + 9 = 40m + 39$
     $N \mod 16 = (40m + 39) \mod 16 = (8m + 7) \mod 16$
     Возможные остатки: 7 при чётных $m$, 15 при нечётных $m$
   Ответ: 7 или 15.