ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015 год

\Large{ФМШ МИЭМ}\\ \large{2015 год}\\ \large{Вариант ФМШ2015-II-09-2} \begin{enumerate} \item Упростите выражение: $\frac{\frac{a^{4}}{a^{3} b^{4}} \cdot 2}{\frac{a^{2} b^{3} c^{4}}{\frac{a \cdot b^{2} c^{3} d^{4}}{a^{2} b^{3} c^{4}} \cdot 5} \cdot 5} \cdot 4$ \item Какое из чисел $\sqrt{3}$ или $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ближе к 1? Обосновать ответ без привлечения калькулятора. \item Дайте определение рационального неравенства. Может ли рациональное неравенство иметь своим решением только одно действительное число? Может ли множество решений рационального неравенства состоять только из нескольких натуральных чисел? Ответы обосновать. \item Турист прошёл путь между двумя городами с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 1 км/ч меньшей. Какова была первоначальная скорость туриста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составила 4 км/ч. \item Покажите, что площадь круга с диаметром, являющимся гипотенузой некоторого прямоугольного треугольника равна сумме площадей кругов с диаметрами, равными катетам этого прямоугольного треугольника. Какие еще фигуры обладают аналогичным свойством? \item Пусть, $f(x)=x-1, g(x)=\frac{1}{x}$. Постройте график функции $y=f(g(f(g(x))))$. \item При каких значениях а уравнение $x^{2}-(2 a-2) x+a^{2}-2 a=0$ имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу $(-5 ; 5) ?$ \end{enumerate}

Решения задач

1. Упростите выражение: $\frac{\frac{a^{4}}{a^{3} b^{4}} \cdot 2}{\frac{a^{2} b^{3} c^{4}}{\frac{a \cdot b^{2} c^{3} d^{4}}{a^{2} b^{3} c^{4}} \cdot 5} \cdot 5} \cdot 4$
   Решение: Упростим выражение пошагово, сокращая степени:
   Числитель верхней дроби: $\frac{a^4}{a^3 b^4} \cdot 2 = \frac{a}{b^4} \cdot 2 = \frac{2a}{b^4}$
   Знаменатель верхней дроби: $\frac{a^2 b^3 c^4}{\frac{a b^2 c^3 d^4}{a^2 b^3 c^4} \cdot 5} \cdot 5 = \frac{a^2 b^3 c^4}{\frac{a b^2 c^3 d^4 \cdot a^2 b^3 c^4}{a^2 b^3 c^4} \cdot 5} \cdot 5 = \frac{a^2 b^3 c^4}{a b^2 c^3 d^4 \cdot 5} \cdot 5 = \frac{a^2 b^3 c^4}{a b^2 c^3 d^4} = \frac{a b c}{d^4}$
   Теперь исходное выражение: $\frac{\frac{2a}{b^4}}{\frac{a b c}{d^4}} \cdot 4 = \frac{2a}{b^4} \cdot \frac{d^4}{a b c} \cdot 4 = \frac{8 d^4}{b^5 c}$
   Ответ: $\frac{8 d^4}{b^5 c}$.
   
   
2. Какое из чисел $\sqrt{3}$ или $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ближе к 1? Обосновать ответ без привлечения калькулятора.
   Решение: Найдем расстояния до 1:
   $|\sqrt{3} - 1|$ и $\left|1 - \frac{\sqrt{3}}{5}\right|$
   Сравним квадраты расстояний:
   $(\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \approx 4 - 3,464 = 0,536$
   $\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 = 1 - \frac{2\sqrt{3}}{5} + \frac{3}{25} = \frac{28}{25} - \frac{2\sqrt{3}}{5} \approx 1,12 - 0,692 = 0,428$
   Так как $0,428 < 0,536$, то $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ближе к 1.
   Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{5}$ ближе к 1.
   
   
3. Дайте определение рационального неравенства. Может ли рациональное неравенство иметь своим решением только одно действительное число? Может ли множество решений рационального неравенства состоять только из нескольких натуральных чисел? Ответы обосновать.
   Решение:
   1. Рациональное неравенство — неравенство вида $\frac{P(x)}{Q(x)} \gtrless 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.
   2. Да, может. Пример: $\frac{(x-2)^2}{x^2+1} \leq 0$. Решение: $x=2$ (единственное).
   3. Да, может. Пример: $\frac{(x-1)(x-3)}{x^2+1} < 0$ при $x \in (1,3)$. Натуральные решения: $x=2$.
   Ответ: Да, оба утверждения возможны.
   
   
4. Турист прошёл путь между двумя городами с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 1 км/ч меньшей. Какова была первоначальная скорость туриста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составила 4 км/ч.
   Решение: Пусть расстояние между городами $S$, исходная скорость $v$ км/ч. Тогда:
   Общее время: $t = \frac{S}{v} + \frac{S}{v-1}$
   Средняя скорость: $\frac{2S}{t} = 4 \Rightarrow t = \frac{2S}{4} = \frac{S}{2}$
   Уравнение: $\frac{S}{v} + \frac{S}{v-1} = \frac{S}{2}$. Сократим $S$:
   $\frac{1}{v} + \frac{1}{v-1} = \frac{1}{2}$
   $\frac{2v-1}{v(v-1)} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4v-2 = v^2 - v \Rightarrow v^2 -5v +2 = 0$
   Корни: $v = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$. Подходит только $v = \frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ (так как скорость должна быть больше 1).
   Ответ: $\frac{5 + \sqrt{17}}{2}$ км/ч.
   
   
5. Покажите, что площадь круга с диаметром, являющимся гипотенузой некоторого прямоугольного треугольника равна сумме площадей кругов с диаметрами, равными катетам этого прямоугольного треугольника. Какие еще фигуры обладают аналогичным свойством?
   Решение: Пусть катеты $a$, $b$, гипотенуза $c$. По теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$
   Площади кругов: $S_{гип} = \pi (\frac{c}{2})^2 = \frac{\pi c^2}{4}$, $S_{кат} = \frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi (a^2 + b^2)}{4} = \frac{\pi c^2}{4} = S_{гип}$
   Аналогичным свойством обладают любые подобные фигуры, построенные на сторонах треугольника (например, полукруги, квадраты).
   Ответ: Утверждение доказано; аналогичное свойство имеют квадраты, полукруги и другие подобные фигуры.
   
   
6. Пусть, $f(x)=x-1, g(x)=\frac{1}{x}$. Постройте график функции $y=f(g(f(g(x))))$.
   Решение: Последовательно вычислим:
   1. $g(x) = \frac{1}{x}$
   2. $f(g(x)) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1 - x}{x}$
   3. $g(f(g(x))) = \frac{x}{1 - x}$
   4. $f(g(f(g(x)))) = \frac{x}{1 - x} - 1 = \frac{x - (1 - x)}{1 - x} = \frac{2x - 1}{1 - x}$
   Упростим: $y = \frac{2x - 1}{1 - x} = -2 + \frac{1}{1 - x}$
   График — гипербола с вертикальной асимптотой $x=1$ и горизонтальной $y=-2$.
   Ответ: График функции $y = \frac{2x - 1}{1 - x}$.
   
   
7. При каких значениях а уравнение $x^{2}-(2 a-2) x+a^{2}-2 a=0$ имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу $(-5 ; 5) ?$
   Решение: Условия:
   1. Дискриминант положителен: $D = (2a-2)^2 - 4(a^2-2a) = 4a^2 -8a +4 -4a^2 +8a = 4 > 0$ — выполняется всегда.
   2. Корни лежат в (-5;5):
   а) $f(-5) > 0$: $25 +5(2a-2) +a^2-2a > 0 \Rightarrow a^2 +8a +15 > 0 \Rightarrow (a+3)(a+5) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)$
   б) $f(5) > 0$: $25 -5(2a-2) +a^2-2a > 0 \Rightarrow a^2 -12a +35 > 0 \Rightarrow (a-5)(a-7) > 0 \Rightarrow a \in (-\infty;5) \cup (7;+\infty)$
   в) Вершина параболы в интервале: $-5 < \frac{2a-2}{2} < 5 \Rightarrow -5 < a-1 < 5 \Rightarrow -4 < a < 6$
   Пересечение условий: $a \in (-3;5)$
   Ответ: $a \in (-3;5)$.