ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015 год

\Large{ФМШ МИЭМ}\\ \large{2015 год}\\ \large{Вариант ФМШ2015-II-09-1} \begin{enumerate} \item Упростите выражение: $4 \cdot \frac{3 \cdot \frac{2 \cdot \frac{a}{a^{2} b}}{a^{3} b^{2} c}}{5 \cdot \frac{a^{4} b^{3} c^{2} d}{6 \cdot \frac{a^{3} b^{2} c}{7 \cdot \frac{a^{2} b}{a}}}}$ \item Какое из чисел $\sqrt{2}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ближе к 1? Обосновать ответ без привлечения калькулятора. \item Дайте определение рационального уравнения. Может ли рациональное уравнение иметь бесконечное множество решений? Может ли оно иметь своим решением все действительные числа, кроме какого-либо одного? Ответы обосновать. \item Турист прошёл путь между двумя городами с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 0,5 км/ч меньшей. Какова была первоначальная скорость туриста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составила 4 км/ч. \item Покажите, что площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на его катетах. Какие еще фигуры обладают аналогичным свойством? \item Пусть $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=x+1$. Постройте график функции $y=f(g(f(g(x))))$. \item При каких значениях $a$ уравнение $x^{2}-4 a x+4 a^{2}-25=0$ имеет два корня, каждый из которых больше 2? \end{enumerate}

Решения задач

1. Упростите выражение: $4 \cdot \frac{3 \cdot \frac{2 \cdot \frac{a}{a^{2} b}}{a^{3} b^{2} c}}{5 \cdot \frac{a^{4} b^{3} c^{2} d}{6 \cdot \frac{a^{3} b^{2} c}{7 \cdot \frac{a^{2} b}{a}}}}$
   Решение: Последовательно упростим выражение, сокращая степени:
   Внутренняя часть: $\frac{a^2 b}{a} = a b$
   Далее: $\frac{a^3 b^2 c}{7 \cdot a b} = \frac{a^2 b c}{7}$
   Затем: $\frac{a^4 b^3 c^2 d}{6 \cdot \frac{a^2 b c}{7}} = \frac{7 a^2 b^2 c d}{6}$
   В числителе верхней дроби: $\frac{2 \cdot \frac{a}{a^2 b}}{a^3 b^2 c} = \frac{2}{a^4 b^3 c}$
   Собираем всё выражение:
   $4 \cdot \frac{3 \cdot \frac{2}{a^4 b^3 c}}{5 \cdot \frac{7 a^2 b^2 c d}{6}} = 4 \cdot \frac{18}{35 a^6 b^5 c^2 d} = \frac{72}{35 a^6 b^5 c^2 d}$
   Ответ: $\frac{72}{35 a^6 b^5 c^2 d}$.
   
   
2. Какое из чисел $\sqrt{2}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ближе к 1?
   Решение: Рассмотрим квадраты расстояний до 1:
   $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2,828 = 0,172$
   $(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = (1 - \frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 1 - \sqrt{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \sqrt{2} \approx 1,5 - 1,414 = 0,086$
   Так как $0,086 < 0,172$, число $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ближе к 1.
   Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   
   
3. Дайте определение рационального уравнения. Может ли рациональное уравнение иметь бесконечное множество решений? Может ли оно иметь своим решением все действительные числа, кроме какого-либо одного?
   Решение: Рациональное уравнение — уравнение вида $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены.
   Да, может иметь бесконечное множество решений, если уравнение тождественно равно нулю на области определения (например, $\frac{x-1}{x-1} = 1$ при $x \neq 1$).
   Да, может иметь решениями все действительные числа кроме одного (например, $\frac{(x-1)(x-2)}{x-2} = x-1$ при $x \neq 2$).
   Ответ: Да, может; Да, может.
   
   
4. Турист прошёл путь между двумя городами с некоторой постоянной скоростью, а возвращался со скоростью на 0,5 км/ч меньшей. Какова была первоначальная скорость туриста, если известно, что средняя скорость на всём пути следования составила 4 км/ч.
   Решение: Пусть $v$ — первоначальная скорость (км/ч), $S$ — расстояние между городами. Средняя скорость:
   $\frac{2S}{\frac{S}{v} + \frac{S}{v-0,5}} = 4$
   Сокращаем $S$:
   $\frac{2}{\frac{1}{v} + \frac{1}{v-0,5}} = 4 \Rightarrow \frac{1}{v} + \frac{1}{v-0,5} = 0,5$
   Решаем уравнение:
   $\frac{2v - 0,5}{v(v - 0,5)} = 0,5 \Rightarrow 4v - 1 = v^2 - 0,5v \Rightarrow v^2 - 4,5v + 1 = 0$
   Дискриминант: $D = 20,25 - 4 = 16,25 \Rightarrow v = \frac{4,5 \pm \sqrt{16,25}}{2}$
   Физический смысл имеет только положительный корень: $v \approx 4,31$ км/ч.
   Ответ: $\frac{9 + \sqrt{65}}{4}$ км/ч (≈4,31).
   
   
5. Покажите, что площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей равносторонних треугольников, построенных на его катетах. Какие еще фигуры обладают аналогичным свойством?
   Решение: Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$: $S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$:
   $S_{гип} = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 + b^2) = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = S_{a} + S_{b}$
   Аналогичным свойством обладают любые подобные фигуры, площадь которых пропорциональна квадрату стороны (например, квадраты, полукруги).
   Ответ: Утверждение доказано; аналогичное свойство имеют подобные фигуры с площадью ∝ квадрату стороны.
   
   
6. Пусть $f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=x+1$. Постройте график функции $y=f(g(f(g(x))))$.
   Решение: Последовательно вычислим композицию:
   $g(x) = x + 1$
   $f(g(x)) = \frac{1}{x + 1}$
   $g(f(g(x))) = \frac{1}{x + 1} + 1 = \frac{x + 2}{x + 1}$
   $f(g(f(g(x)))) = \frac{1}{\frac{x + 2}{x + 1}} = \frac{x + 1}{x + 2}$
   График — гипербола с асимптотами $x = -2$ и $y = 1$, пересекающая ось $y$ в точке $(0; 0,5)$.
   Ответ: $y = \frac{x + 1}{x + 2}$.
   
   
7. При каких значениях $a$ уравнение $x^{2}-4 a x+4 a^{2}-25=0$ имеет два корня, каждый из которых больше 2?
   Решение: Корни уравнения: $x = 2a \pm 5$. Условия:
   $2a - 5 > 2 \Rightarrow a > 3,5$
   $2a + 5 > 2 \Rightarrow a > -1,5$
   Объединяя: $a > 3,5$.
   Ответ: $a \in (3,5; +\infty)$.