8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ2015-09-2



  1. Найдите корни уравнения: $\frac{x^{\frac{4}{3}}-1}{x^{\frac{2}{3}}+1}+\frac{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}-1}=7$
  2. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}|x-2|>2 \\ || 2 x-x^{2} \mid=3\end{array}\right.$
  3. Докажите, что $\sqrt{11-4 \sqrt{7}}+\sqrt{16-6 \sqrt{7}}=1$
  4. Катер прошел 35 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 18 км/ч.
  5. Как с помощью прямых, выходящих из одной вершины параллелограмма, разбить его на 3 части, равные по площади.
  6. На координатной плоскости изображён график некоторой функции $y=f(x) .$
    1. Данный график сместили на 2 единицы вниз. Графиком какой функции будет являться новый график в той же системе координат?
    2. График исходной функции сместили на 7 единиц вверх. Как должна сместиться система координат относительно исходного положения, чтобы в ней новый график являлся графиком функции $y=f(x)-5 ?$
    1. Решите систему уравнений при $a=0:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x=-4 y-y^{2} \\ x+a=y^{2}\end{array}\right.$
    2. Не выполняя полное решение данной системы, определите, какое количество решений она может иметь при различных значениях $a$. Ответ поясните.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите корни уравнения: $\frac{x^{\frac{4}{3}}-1}{x^{\frac{2}{3}}+1}+\frac{x^{\frac{4}{3}}-x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}-1}=7$
    Решение: Сделаем замену $t = x^{\frac{2}{3}}$, тогда уравнение примет вид:
    $\frac{t^2 - 1}{t + 1} + \frac{t^2 - t}{t - 1} = 7$
    Упростим дроби:
    $\frac{(t-1)(t+1)}{t+1} + \frac{t(t-1)}{t-1} = t - 1 + t = 2t - 1 = 7$
    $2t = 8 \Rightarrow t = 4$
    Возвращаемся к исходной переменной:
    $x^{\frac{2}{3}} = 4 \Rightarrow x = 4^{\frac{3}{2}} = 8$
    Проверка подстановкой подтверждает решение.
    Ответ: 8.

  2. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}|x-2|>2 \\ || 2 x-x^{2} \mid=3\end{array}\right.$
    Решение: Решим сначала уравнение $|2x - x^2| = 3$:
    $2x - x^2 = \pm 3$
    Для $2x - x^2 = 3$: $x^2 - 2x + 3 = 0$ (нет действительных корней)
    Для $2x - x^2 = -3$: $x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ или $x = -1$
    Проверим неравенство $|x-2| > 2$:
    Для $x=3$: $|1| = 1 \not> 2$ — не подходит
    Для $x=-1$: $|-3| = 3 > 2$ — подходит
    Ответ: $-1$.

  3. Докажите, что $\sqrt{11-4 \sqrt{7}}+\sqrt{16-6 \sqrt{7}}=1$
    Решение: Представим подкоренные выражения как квадраты:
    $\sqrt{11-4\sqrt{7}} = \sqrt{(\sqrt{7}-2)^2} = \sqrt{7}-2$
    $\sqrt{16-6\sqrt{7}} = \sqrt{(3-\sqrt{7})^2} = 3-\sqrt{7}$
    Сумма: $(\sqrt{7}-2) + (3-\sqrt{7}) = 1$
    Ответ: Доказано.

  4. Катер прошел 35 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера 18 км/ч.
    Решение: Пусть $x$ — скорость течения:
    $\frac{35}{18+x} + \frac{35}{18-x} = 4$
    Умножим на $(18+x)(18-x)$:
    $35(18-x) + 35(18+x) = 4(324-x^2)$
    $1260 = 1296 - 4x^2 \Rightarrow 4x^2 = 36 \Rightarrow x = 3$
    Ответ: 3 км/ч.

  5. Как с помощью прямых, выходящих из одной вершины параллелограмма, разбить его на 3 части, равные по площади.
    Решение: Разделим каждую из смежных сторон на три равные части. Проведем прямые из вершины к точкам деления:
    - Первая прямая делит сторону в отношении 1:2
    - Вторая прямая делит другую сторону в отношении 2:1
    Образованные треугольники и четырехугольник будут иметь равные площади по $\frac{1}{3}$ площади параллелограмма.
    Ответ: См. решение.

  6. На координатной плоскости изображён график некоторой функции $y=f(x) .$
    1. Данный график сместили на 2 единицы вниз. Графиком какой функции будет являться новый график в той же системе координат?
      Ответ: $y = f(x) - 2$
    2. График исходной функции сместили на 7 единиц вверх. Как должна сместиться система координат относительно исходного положения, чтобы в ней новый график являлся графиком функции $y=f(x)-5 ?$
      Ответ: Сдвиг системы координат на 12 единиц вверх.


    1. Решите систему уравнений при $a=0:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 x=-4 y-y^{2} \\ x+a=y^{2}\end{array}\right.$
      Решение: При $a=0$ система:
      $\begin{cases} x = y^2 \\ y^4 + 2y^2 + 4y + y^2 = 0 \end{cases}$
      $y(y^3 + 3y + 4) = 0 \Rightarrow y=0$ или $y=-1$
      Решения: $(0, 0)$ и $(1, -1)$
      Ответ: $(0, 0)$ и $(1, -1)$
    2. Не выполняя полное решение данной системы, определите, какое количество решений она может иметь при различных значениях $a$. Ответ поясните.
      Ответ: Система может иметь 0, 1, 2, 3 или 4 решения в зависимости от параметра $a$, так как объединение квадратного и кубического уравнений порождает уравнение 4-й степени.
Материалы школы Юайти