8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2015 год

Сложность:
Дата экзамена: 2015
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2015 год


Вариант ФМШ2015-09-1



  1. Найдите корни уравнения: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-1}{x^{\frac{1}{3}}+1}+\frac{x^{\frac{2}{3}}+1}{x^{\frac{2}{3}}-1}=2$
  2. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}|x-2|<2 \\ \left|x-x^{2}\right|=6\end{array}\right.$
  3. Докажите, что $\sqrt{9-4 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}=1$
  4. Катер прошел 40 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.
  5. Как с помощью прямых, выходящих из одной вершины параллелограмма, разбить его на 3 части, равные по площади.
  6. На координатной плоскости изображён график некоторой функции $y=f(x) .$
    1. Данный график сместили на 3 единицы влево. Графиком какой функции будет являться новый график в той же системе координат?
    2. График исходной функции сместили на 5 единиц вправо. Как должна сместиться система координат относительно исходного положения, чтобы в ней новый график являлся графиком функции $y=f(x+7) ?$
    1. Решите систему уравнений при $a=0:\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x=4 y-y^{2} \\ x=a-y^{2}\end{array}\right.$
    2. Не выполняя полное решение данной системы, определите, какое количество решений она может иметь при различных значениях $a$. Ответ поясните.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите корни уравнения: $\frac{x^{\frac{1}{3}}-1}{x^{\frac{1}{3}}+1}+\frac{x^{\frac{2}{3}}+1}{x^{\frac{2}{3}}-1}=2$
    Решение:
    Введем замену $t = x^{\frac{1}{3}}$, тогда уравнение примет вид:
    $\frac{t - 1}{t + 1} + \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1} = 2$
    Упростим второе слагаемое:
    $\frac{t^2 + 1}{(t - 1)(t + 1)} = \frac{t^2 + 1}{t^2 - 1}$
    Приведем к общему знаменателю $(t + 1)(t - 1)$:
    $(t - 1)^2 + t^2 + 1 = 2(t^2 - 1)$
    Раскроем скобки:
    $t^2 - 2t + 1 + t^2 + 1 = 2t^2 - 2$
    Упростим:
    $2t^2 - 2t + 2 = 2t^2 - 2$
    $-2t + 4 = 0 \Rightarrow t = 2$
    Возвращаемся к исходной переменной:
    $x^{\frac{1}{3}} = 2 \Rightarrow x = 2^3 = 8$
    Проверка подстановкой в исходное уравнение подтверждает решение.
    Ответ: 8.

  2. Решите систему: $\left\{\begin{array}{l}|x-2|<2 \\ \left|x-x^{2}\right|=6\end{array}\right.$
    Решение:
    1) Решим неравенство $|x - 2| < 2$:
    $-2 < x - 2 < 2 \Rightarrow 0 < x < 4$
    2) Решим уравнение $|x - x^2| = 6$:
    Рассмотрим два случая:
    а) $x - x^2 = 6$:
    $-x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x + 6 = 0$
    Дискриминант $D = 1 - 24 = -23 < 0$ ⇒ решений нет.
    б) $x - x^2 = -6$:
    $-x^2 + x + 6 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 6 = 0$
    Корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = 3$ и $-2$
    Проверим принадлежность интервалу (0,4):
    $x = 3$ ∈ (0,4), $x = -2$ ∉ (0,4)
    Ответ: 3.

  3. Докажите, что $\sqrt{9-4 \sqrt{5}}+\sqrt{14-6 \sqrt{5}}=1$
    Решение:
    Преобразуем подкоренные выражения:
    1) $9 - 4\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 2)^2$, так как:
    $(\sqrt{5} - 2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$
    2) $14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2$, так как:
    $(3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$
    Тогда:
    $\sqrt{9-4\sqrt{5}} + \sqrt{14-6\sqrt{5}} = (\sqrt{5} - 2) + (3 - \sqrt{5}) = 1$
    Что и требовалось доказать.

  4. Катер прошел 40 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 3 км/ч.
    Решение:
    Пусть $v$ км/ч — собственная скорость катера. Составим уравнение:
    $\frac{40}{v + 3} + \frac{40}{v - 3} = 3$
    Умножим обе части на $(v^2 - 9)$:
    $40(v - 3) + 40(v + 3) = 3(v^2 - 9)$
    $80v = 3v^2 - 27$
    $3v^2 - 80v - 27 = 0$
    Решаем квадратное уравнение:
    $D = 6400 + 324 = 6724 = 82^2$
    $v = \frac{80 \pm 82}{6}$
    Физический смысл имеет только положительный корень:
    $v = \frac{80 + 82}{6} = 27$ км/ч
    Ответ: 27 км/ч.

  5. Как с помощью прямых, выходящих из одной вершины параллелограмма, разбить его на 3 части, равные по площади.
    Решение:
    Разделим одну из сторон параллелограмма на три равные части. Пусть ABCD — параллелограмм с вершиной A. Разделим сторону AB на три равных отрезка: точки деления E и F. Проведем прямые из вершины A к точкам E и F на противоположной стороне CD. Полученные три треугольника будут иметь равные площади, так как их основания равны $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ стороны, а высоты одинаковы.

  6. На координатной плоскости изображён график некоторой функции $y=f(x)$.
    1. График сместили на 3 единицы влево. Графиком какой функции будет являться новый график?
      Ответ: $y = f(x + 3)$.

    2. График сместили на 5 единиц вправо. Как должна сместиться система координат, чтобы новый график являлся графиком $y=f(x+7)$?
      Решение:
      Смещение графика на 5 единиц вправо соответствует функции $f(x - 5)$. Чтобы эта функция отображалась как $f(x + 7)$, система координат должна сместиться на 12 единиц влево ($x' = x - 12$).
      Ответ: Система координат должна сместиться на 12 единиц влево.


    1. Решите систему уравнений при $a=0$: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x=4 y-y^{2} \\ x=a-y^{2}\end{array}\right.$
      Решение при $a=0$:
      Подставим $x = -y^2$ в первое уравнение:
      $(-y^2)^2 - 2(-y^2) = 4y - y^2$
      $y^4 + 2y^2 = 4y - y^2$
      $y^4 + 3y^2 - 4y = 0$
      $y(y^3 + 3y - 4) = 0$
      Корни: $y = 0$ и $y = 1$ (подбором)
      При $y = 0$: $x = 0$
      При $y = 1$: $x = -1$
      Ответ: $(0; 0)$, $(-1; 1)$.

    2. Количество решений системы при различных $a$:
      Анализ показывает, что система может иметь: - 0 решений при $a < -\frac{1}{4}$ - 1 решение при $a = -\frac{1}{4}$ - 2 решения при $-\frac{1}{4} < a 0$
      Это следует из анализа пересечений параболы и окружности в преобразованной системе уравнений.
Материалы школы Юайти