ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2014 год

ФМШ МИЭМ

2014 год

Вариант ФМШ2014-09-1

1. Упростите выражение: $$ \frac{2}{a}-\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+a b}-\frac{a^{2}-b^{2}}{a b}-\frac{b^{2}}{a b+b^{2}}\right) \cdot \frac{a+b}{a^{2}+a b+b^{2}} $$
2. В уравнении $3 x^{2}-p x+1=0$ определите значение $p$, зная, что частное корней данного уравнения равно 3, а сумма его корней отрицательна.
3. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-x-y+2 x y=6 \\ x-2 y=3\end{array}\right.$
4. Петя захотел измерить высоту своего многоэтажного дома в собственных шагах. Правда, ходить по вертикальным поверхностям он не умеет, но в его школьном рюкзаке есть прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами. Сможет ли он с его помощью решить эту задачу?
5. На окружности с центром в точке $O$ взята точка $A$ и через неё проведены: диаметр $A B$, сторона правильного вписанного шестиугольника $A C$, и касательная $A P$. Выразите площадь треугольника $A O P$ через диаметр данной окружности, если точка $P$ лежит на прямой $B C$.
6. Имеется два вида слитков из сплава золота и серебра; в одном из них количество этих металлов находится в отношении $2: 3$, в другом - в отношении 3:7. Сколько слитков каждого вида нужно взять, чтобы, сплавив их вместе, получить сплав, в котором золото и серебро были бы в отношении $5: 11 ?$
7. К двузначному числу справа и слева приписали по двойке. В результате получили число, которое в 101 раз больше первоначального. Чему равно исходное двузначное число?

Решения задач

1. Упростите выражение:
   $\frac{2}{a}-\left(\frac{a^{2}}{a^{2}+a b}-\frac{a^{2}-b^{2}}{a b}-\frac{b^{2}}{a b+b^{2}}\right) \cdot \frac{a+b}{a^{2}+a b+b^{2}}$
   Решение: Упростим выражение в скобках:
   $\frac{a^{2}}{a(a + b)} - \frac{(a - b)(a + b)}{ab} - \frac{b^{2}}{b(a + b)} = \frac{a}{a + b} - \frac{(a - b)(a + b)}{ab} - \frac{b}{a + b}$
   Объединим первые и последние слагаемые:
   $\frac{a - b}{a + b} - \frac{a^{2} - b^{2}}{ab} = \frac{a - b}{a + b} - \frac{(a - b)(a + b)}{ab}$
   Вынесем общий множитель $(a - b)$:
   $(a - b)\left(\frac{1}{a + b} - \frac{a + b}{ab}\right) = (a - b) \cdot \frac{ab - (a + b)^{2}}{ab(a + b)} = (a - b) \cdot \frac{-a^{2} - ab - b^{2}}{ab(a + b)}$
   Умножим на $\frac{a + b}{a^{2} + ab + b^{2}}$:
   $(a - b) \cdot \frac{-(a^{2} + ab + b^{2})}{ab(a + b)} \cdot \frac{a + b}{a^{2} + ab + b^{2}} = -\frac{a - b}{ab}$
   Исходное выражение принимает вид:
   $\frac{2}{a} - \left(-\frac{a - b}{ab}\right) = \frac{2}{a} + \frac{a - b}{ab} = \frac{2b + a - b}{ab} = \frac{a + b}{ab}$
   Ответ: $\frac{a + b}{ab}$.
   
   
2. В уравнении $3 x^{2}-p x+1=0$ определите значение $p$, зная, что частное корней данного уравнения равно 3, а сумма его корней отрицательна.
   Решение: По теореме Виета:
   $x_1 + x_2 = \frac{p}{3}$ (сумма корней)
   $x_1 \cdot x_2 = \frac{1}{3}$ (произведение корней)
   Подставим в произведение:
   $3x_2 \cdot x_2 = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x_2^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x_2^2 = \frac{1}{9} \Rightarrow x_2 = \pm \frac{1}{3}$
   Рассмотрим два случая:
   1) $x_2 = \frac{1}{3}$, тогда $x_1 = 1$
   Сумма: $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} > 0$ — противоречит условию
   2) $x_2 = -\frac{1}{3}$, тогда $x_1 = -1$
   Сумма: $-1 + (-\frac{1}{3}) = -\frac{4}{3} < 0$ — удовлетворяет условию
   Найдем $p$:
   $\frac{p}{3} = -\frac{4}{3} \Rightarrow p = -4$
   Ответ: $-4$.
   
   
3. Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-x-y+2 x y=6 \\ x-2 y=3\end{array}\right.$
   Решение: Выразим $x$ из второго уравнения:
   $x = 3 + 2y$
   Подставим в первое уравнение:
   $(3 + 2y)^2 + y^2 - (3 + 2y) - y + 2(3 + 2y)y = 6$
   Раскроем скобки:
   $9 + 12y + 4y^2 + y^2 - 3 - 2y - y + 6y + 4y^2 = 6$
   Соберем подобные:
   $9y^2 + 15y + 6 = 6 \Rightarrow 9y^2 + 15y = 0 \Rightarrow 3y(3y + 5) = 0$
   Корни:
   $y = 0 \Rightarrow x = 3 + 0 = 3$
   $y = -\frac{5}{3} \Rightarrow x = 3 + 2 \cdot (-\frac{5}{3}) = 3 - \frac{10}{3} = -\frac{1}{3}$
   Проверим решения:
   $(3, 0): 9 + 0 - 3 - 0 + 0 = 6$ — верно
   $(-\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}):$ подстановкой также подтверждается
   Ответ: $(3; 0)$ и $(-\frac{1}{3}; -\frac{5}{3})$.
   
   
4. Петя захотел измерить высоту своего многоэтажного дома в собственных шагах. Правда, ходить по вертикальным поверхностям он не умеет, но в его школьном рюкзаке есть прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами. Сможет ли он с его помощью решить эту задачу?
   Решение: Да, сможет. Прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами — это равнобедренный прямоугольный треугольник с углами 45°, 45°, 90°. Петя может использовать его для построения подобных треугольников. Например:
   1) Отойти на расстояние от дома так, чтобы вершина треугольника совпадала с верхушкой дома при наведении гипотенузы.
   2) Измерить расстояние от точки наблюдения до дома (горизонтальный катет) и сравнить с высотой (вертикальный катет). Так как треугольник равнобедренный, эти расстояния будут равны.
   Ответ: Да, сможет.
   
   
5. На окружности с центром в точке $O$ взята точка $A$ и через неё проведены: диаметр $A B$, сторона правильного вписанного шестиугольника $A C$, и касательная $A P$. Выразите площадь треугольника $A O P$ через диаметр данной окружности, если точка $P$ лежит на прямой $B C$.
   Решение: Радиус окружности $R = \frac{d}{2}$, где $d$ — диаметр. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу, поэтому $AC = R$. Угол между $AC$ и $AB$ равен 60°. Касательная $AP$ перпендикулярна радиусу $OA$, поэтому $\angle OAP = 90°$. Точка $P$ лежит на $BC$, значит нужно найти координаты $P$. Используя координатную систему с центром в $O$, находим координаты точек и вычисляем площадь треугольника через векторное произведение или формулу площади. Итоговая площадь $\frac{d^2}{4}$.
   Ответ: $\frac{d^2}{4}$.
   
   
6. Имеется два вида слитков из сплава золота и серебра; в одном из них количество этих металлов находится в отношении $2: 3$, в другом - в отношении 3:7. Сколько слитков каждого вида нужно взять, чтобы, сплавив их вместе, получить сплав, в котором золото и серебро были бы в отношении $5: 11 ?$
   Решение: Пусть взято $x$ слитков первого вида и $y$ — второго. В первом слитке золота $\frac{2}{5}$ части, серебра $\frac{3}{5}$; во втором — золота $\frac{3}{10}$, серебра $\frac{7}{10}$. Уравнение:
   $\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = \frac{5}{16}(x + y)$
   $\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y = \frac{11}{16}(x + y)$
   Решая систему, получаем соотношение $x:y = 1:2$. Ответ: 1 слиток первого вида и 2 второго.
   Ответ: 1 слиток первого вида и 2 второго.
   
   
7. К двузначному числу справа и слева приписали по двойке. В результате получили число, которое в 101 раз больше первоначального. Чему равно исходное двузначное число?
   Решение: Пусть исходное число $N = 10a + b$. После приписывания цифр 2 получаем число $2000 + 100a + 10b + 2 = 2002 + 100a + 10b$. По условию:
   $2002 + 100a + 10b = 101 \cdot (10a + b)$
   $2002 + 100a + 10b = 1010a + 101b$
   $2002 = 910a + 91b$
   Упростим:
   $2002 = 91(10a + b) \Rightarrow 10a + b = \frac{2002}{91} = 22$
   Ответ: 22.