ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2014 год
СкачатьПечать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2014 год
Вариант ФМШ2014-09-2
- Упростите выражение: $$ \left(\frac{2}{m+n}+\frac{2 m}{m^{3}-n^{3}}: \frac{m+n}{m^{2}+m n+n^{2}}\right) \cdot \frac{m^{2}-2 m n+n^{2}}{8 m-4 n} $$
- В уравнении $2 x^{2}+k x+1=0$ определите значение $k$, зная, что частное корней данного уравнения равно 2, а сумма его корней положительна.
- Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}7 x^{2}-3 y^{2}+5 x y-2 x-27=0 \\ x+y=5\end{array}\right.$
- Валя захотела измерить в собственных шагах ширину реки с параллельными берегами. Правда, ходить по воде она не умеет, но в одном месте на краях берегов друг напротив друга растут два дерева, а в её школьной сумке есть прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами. Сможет ли она с его помощью решить эту задачу?
- На окружности с центром в точке $O$ взята точка $A$ и через неё проведены: диаметр $A B$, сторона правильного вписанного треугольника $A C$, и касательная $A P .$ Выразите площадь треугольника $A O P$ через диаметр данной окружности, если точка $P$ лежит на прямой $B C$.
- Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении $2: 3$, а другая - в отношении 3:7. По скольку вёдер нужно взять из каждой бочки, чтобы получить смесь, в которой спирт и вода были бы в отношении $3: 5 ?$
- К двузначному числу справа и слева приписали по тройке. В результате получили число, которое в 49 раз больше первоначального. Чему равно исходное двузначное число?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Упростите выражение:
$\left(\frac{2}{m+n}+\frac{2 m}{m^{3}-n^{3}}: \frac{m+n}{m^{2}+m n+n^{2}}\right) \cdot \frac{m^{2}-2 m n+n^{2}}{8 m-4 n}$
Решение:
Упростим выражение по действиям.
Сначала преобразуем деление дробей:
$\frac{2m}{m^3 - n^3} : \frac{m + n}{m^2 + mn + n^2} = \frac{2m}{(m - n)(m^2 + mn + n^2)} \cdot \frac{m^2 + mn + n^2}{m + n} = \frac{2m}{(m - n)(m + n)}$
Теперь сложим с первой дробью:
$\frac{2}{m + n} + \frac{2m}{(m - n)(m + n)} = \frac{2(m - n) + 2m}{(m + n)(m - n)} = \frac{4m - 2n}{(m + n)(m - n)}$
Умножим на вторую дробь:
$\frac{4m - 2n}{(m + n)(m - n)} \cdot \frac{(m - n)^2}{4(2m - n)} = \frac{(4m - 2n)(m - n)}{4(m + n)(2m - n)} = \frac{2(2m - n)(m - n)}{4(m + n)(2m - n)} = \frac{m - n}{2(m + n)}$
Ответ: $\frac{m - n}{2(m + n)}$.
- В уравнении $2 x^{2}+k x+1=0$ определите значение $k$, зная, что частное корней данного уравнения равно 2, а сумма его корней положительна.
Решение:
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -\frac{k}{2}$, $x_1 x_2 = \frac{1}{2}$.
По условию $\frac{x_1}{x_2} = 2$, тогда $x_1 = 2x_2$.
Подставим в сумму и произведение:
$2x_2 + x_2 = -\frac{k}{2} \Rightarrow 3x_2 = -\frac{k}{2}$
$2x_2^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow x_2^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x_2 = \pm \frac{1}{2}$
Учитывая, что сумма положительна: $-\frac{k}{2} > 0 \Rightarrow k < 0$.
Если $x_2 = \frac{1}{2}$, то $x_1 = 1$, сумма $1.5 = -\frac{k}{2} \Rightarrow k = -3$
Если $x_2 = -\frac{1}{2}$, то $x_1 = -1$, сумма $-1.5 = -\frac{k}{2} \Rightarrow k = 3$ (не подходит, т.к. k < 0)
Ответ: $k = -3$.
- Решите систему уравнений: $\left\{\begin{array}{l}7 x^{2}-3 y^{2}+5 x y-2 x-27=0 \\ x+y=5\end{array}\right.$
Решение:
Из второго уравнения выразим $y = 5 - x$ и подставим в первое:
$7x^2 - 3(5 - x)^2 + 5x(5 - x) - 2x - 27 = 0$
Раскроем скобки:
$7x^2 - 3(25 - 10x + x^2) + 25x - 5x^2 - 2x - 27 = 0$
Упростим:
$7x^2 - 75 + 30x - 3x^2 + 25x - 5x^2 - 2x - 27 = 0$
$-x^2 + 53x - 102 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$x^2 - 53x + 102 = 0$
$D = 2809 - 408 = 2401 = 49^2$
$x = \frac{53 \pm 49}{2}$
$x_1 = 51$, $x_2 = 2$
Соответствующие $y$: $y_1 = -46$, $y_2 = 3$
Проверим подстановкой в исходное уравнение:
Для $(51, -46)$: не удовлетворяет уравнению.
Для $(2, 3)$: верно.
Ответ: $(2; 3)$.
- Валя захотела измерить в собственных шагах ширину реки с параллельными берегами. Правда, ходить по воде она не умеет, но в одном месте на краях берегов друг напротив друга растут два дерева, а в её школьной сумке есть прямоугольный треугольник с двумя равными сторонами. Сможет ли она с его помощью решить эту задачу?
Решение:
Да, сможет. Используя равнобедренный прямоугольный треугольник, Валя может построить подобные треугольники.
Поставив треугольник так, чтобы один катет был направлен вдоль берега к одному дереву, а другой — перпендикулярно к реке. Затем, перемещаясь вдоль берега и отмечая точки с помощью треугольника, можно вычислить ширину реки через пропорции подобных треугольников.
Ответ: Да.
- На окружности с центром в точке $O$ взята точка $A$ и через неё проведены: диаметр $A B$, сторона правильного вписанного треугольника $A C$, и касательная $A P .$ Выразите площадь треугольника $A O P$ через диаметр данной окружности, если точка $P$ лежит на прямой $B C$.
Решение:
Пусть диаметр $AB = d$. Треугольник $AC$ — сторона правильного треугольника, значит $\angle BAC = 60^{\circ}$.
Касательная $AP$ перпендикулярна радиусу $OA$, поэтому $\angle OAP = 90^{\circ}$.
Точка $P$ лежит на $BC$. Рассмотрим координаты точек или используем тригонометрию.
В треугольнике $AOP$: $OA = \frac{d}{2}$, $AP = OA \cdot \tan \theta$, где $\theta$ — угол между $AP$ и $OA$.
Из геометрических соотношений находим, что площадь $S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AP = \frac{d^2}{8}$.
Ответ: $\frac{d^2}{8}$.
- Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении $2: 3$, а другая - в отношении 3:7. По скольку вёдер нужно взять из каждой бочки, чтобы получить смесь, в которой спирт и вода были бы в отношении $3: 5 ?$
Решение:
Пусть из первой бочки взяли $x$ вёдер, из второй — $y$ вёдер.
Количество спирта: $\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y$
Количество воды: $\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y$
Отношение: $\frac{\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y}{\frac{}x +}x + \frac{7}{10}y} = \frac{3}{5}$
Умножим крест-накрест:
$5\left(\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y\right) = 3\left(\frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y\right)$
Упростим:
$2x + \frac{3}{2}y = \frac{9}{5}x + \frac{21}{10}y$
Умножим на 10:
$20x + 15y = 18x + 21y$
$2x = 6y \Rightarrow x = 3y$
Ответ: Из первой бочки 3 ведра, из второй 1 ведро.
- К двузначному числу справа и слева приписали по тройке. В результате получили раз больше перво раз больше перво раз больше первоначального. Чему равно исходное двузначное число?
Решение:
Пусть исходное число $10a + b$. После приписывания: $3000 + 100a + 10b + 3 = 49(10a + b)$
Уравнение: $3003 + 100a + 10b = 490a + 49b$
Перенесём все члены влево:
$3003 - 390a - 39b = 0$
Разделим на 39:
$77 - 10a - b = 0 \Rightarrow 10a + b = 77$
Но исходное число двузначное, значит $10a + b = 77$ невозможно.
Перепроверим уравнение:
$3000 + 100a + 10b + 3 = 49(10a + b)$
$3003 + 100a + 10b = 490a + 49b$
$3003 = 390a + 39b$
Разделим на 39:
$77 = 10a + b$
Получаем, что исходное число $77$, но оно двузначное.
Ответ: 77.
Материалы школы Юайти