ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2014 год

ФМШ МИЭМ

2014 год

Вариант ФМШ2014-II-09-1

1. Найдите корни уравнения: $$ \frac{33}{x^{3}-2 x^{2}-x+2}+\frac{1}{(x-1) \cdot(x-2)}=\frac{1}{x+1} $$
2. При каких значениях $m$ произведение корней уравнения $x^{2}+2 x+m=0$ больше нуля?
3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $(x+y)^{2}>4$, и при этом все они находятся на расстоянии не больше 5 от начала координат.
4. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а затем уменьшил скорость. Какой могла быть скорость автомобиля на втором участке пути, если известно, что его средняя скорость на всём пути была не меньше 80 км/ч?
5. Точки $K, L$ и $M$ находятся на сторонах треугольника $A B C$ между точками $A$ и $B, B$ и $C$ и $A$ и $C$ соответственно. $A K$ относится к $K B$ как 2 к $3, B L$ к $L C$ как 1 к 4, а $A M$ к $M C$ как 3 к $7 .$ Найти отношение площади треугольника $B M K$ к площади треугольника $A L M$.
6. Какие числа называются рациональными? Может ли частное рационального и иррационального числа быть рациональным числом? Верно ли, что между любыми двумя рациональными числами всегда есть хотя бы одно иррациональное?
7. Существуют ли такие натуральные числа $a, b$ и $c$, что $$ \sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} ? $$

Решения задач

1. Найдите корни уравнения:
   $\frac{33}{x^{3}-2 x^{2}-x+2}+\frac{1}{(x-1) \cdot (x-2)}=\frac{1}{x+1}$
   Решение:
   Разложим знаменатели на множители:
   $x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x - 2)(x + 1)$
   Уравнение определено при $x \neq 1, 2, -1$. Умножим обе части на общий знаменатель $(x-1)(x-2)(x+1)$:
   $33 + (x + 1) = (x - 1)(x - 2)$
   $33 + x + 1 = x^2 - 3x + 2$
   $x^2 - 4x - 32 = 0$
   Дискриминант: $D = 16 + 128 = 144$
   Корни: $x = \frac{4 \pm 12}{2} \Rightarrow x = 8$, $x = -4$ (оба не исключены).
   Ответ: $\boxed{8}$, $\boxed{-4}$.
   
   
2. При каких значениях $m$ произведение корней уравнения $x^{2}+2 x+m=0$ больше нуля?
   Решение:
   По теореме Виета произведение корней равно $m$. Для действительных корней необходимо:
   $D = 4 - 4m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$
   Учитывая $m > 0$, получаем $0 0$, но если допустимы любые корни, ответ будет $m > 0$. Предполагая действительные корни:
   Ответ: $\boxed{0 < m \leq 1}$.
   
   
3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $(x+y)^{2}>4$, и при этом все они находятся на расстоянии не больше 5 от начала координат.
   Решение:
   Неравенство $|x + y| > 2$ задаёт область вне полосы между прямыми $x + y = 2$ и $x + y = -2$. Условие расстояния:
   $x^2 + y^2 \leq 25$ (круг радиусом 5).
   Искомое множество — область внутри круга, исключая между прямыми.
   Ответ: Изображение внутри круга радиуса 5, исключая полосу между $x + y = \pm 2$.
   
   
4. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а затем уменьшил скорость. Какой могла быть скорость автомобиля на втором участке пути, если известно, что его средняя скорость на всём пути была не меньше 80 км/ч?
   Решение:
   Формула средней скорости при равных отрезках:
   $v_{\text{ср}} = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} \geq 80$
   $v_1 = 90$, $v_2 = v$:
   $\frac{2 \cdot 90 \cdot v}{90 + v} \geq 80 \Rightarrow 180v \geq 80(v + 90) \Rightarrow 100v \geq 7200 \Rightarrow v \geq 72$
   Ответ: $\boxed{v \geq 72}$ км/ч.
   
   
5. Точки $K, L$ и $M$ находятся на сторонах треугольника $ABC$. Найти отношение площади треугольника $BMK$ к площади треугольника $ALM$.
   Решение:
   Назначим координаты: $A(0,0)$, $B(5,0)$, $C(0,10)$.
   $K\left(2,0\right)$, $L\left(4,2\right)$, $M(0,3)$.
   Площадь $BMK$:
   $\frac{1}{2} |5(3-0) + 0(0-0) + 2(0-3)| = \frac{9}{2}$
   Площадь $ALM$:
   $\frac{1}{2} |0(2-3) + 4(3-0) + 0(0-2)| = 6$
   Отношение: $\frac{9/2}{6} = \frac{3}{4}$
   Ответ: $\boxed{\dfrac{3}{4}}$.
   
   
6. Рациональные числа — это числа, представимые в виде $\frac{m}{n}$, где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$. Да, частное рационального (кроме нуля) и иррационального чисел иррационально, но если рациональное число равно нулю — частное равно нулю (рационально). Между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, так как их мощности различны.
   Ответ: Да, если рациональное число равно нулю. Да, между любыми двумя рациональными числами есть иррациональное.
   
   
7. Натуральные $a, b, c$ существуют.
   Решение:
   Возведём обе части в квадрат:
   $10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2 = a + b + c + 2(\sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc})$
   Приравниваем слагаемые:
   $a + b + c = 10$, $\sqrt{ab} + \sqrt{ac} + \sqrt{bc} = \sqrt{6} + \sqrt{10} + \sqrt{15}$
   Решение: $a=2$, $b=3$, $c=5$:
   $\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$
   Ответ: $\boxed{a=2, b=3, c=5}$.