8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2014 год

Сложность:
Дата экзамена: 2014
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2014 год


Вариант ФМШ2014-II-09-2



  1. Найдите корни уравнения: $$ \frac{1}{3 \cdot(x-4)}+\frac{1}{2 \cdot\left(x^{2}+3\right)}+\frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12}=0 $$
  2. При каких значениях $p$ произведение корней уравнения $x^{2}-2 x+p=0$ больше нуля?
  3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $(x-y)^{2}<9$, и при этом все они находятся на расстоянии не меньше 2 от начала координат.
  4. Первую половину пути автобус проехал со скоростью 40 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость автобуса на втором участке пути, если известно, что его средняя скорость на всём пути не превышала 60 км/ч?
  5. Точки $K, L$ и $M$ находятся на сторонах треугольника $A B C$ между точками $A$ и $B, B$ и $C$ и $A$ и $C$ соответственно. $A K$ относится к $K B$ как 1 к $3, B L$ к $L C$ как 2 к 3, а $A M$ к $M C$ как 4 к $5 .$ Найти отношение площади треугольника $B L M$ к площади треугольника $C M K .$
  6. Какие числа называются иррациональными? Может ли сумма иррациональных чисел быть рациональным числом? Верно ли, что между любыми двумя иррациональными числами всегда есть хотя бы одно рациональное?
  7. Существуют ли такие натуральные числа $a, b$ и $c$, что $$ \sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=a+\sqrt{b}-\sqrt{c} ? $$
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Найдите корни уравнения:
    $\frac{1}{3 \cdot(x-4)}+\frac{1}{2 \cdot\left(x^{2}+3\right)}+\frac{1}{x^{3}-4 x^{2}+3 x-12}=0$
    Решение: Разложим третий знаменатель на множители:
    $x^3 -4x^2 +3x -12 = x^2(x-4) +3(x-4) = (x-4)(x^2+3)$
    Общий знаменатель всех дробей: $6(x-4)(x^2+3)$
    Умножим уравнение на общий знаменатель:
    $2(x^2+3) + 3(x-4) + 6 = 0$
    $2x^2 +6 +3x -12 +6 = 0$
    $2x^2 +3x = 0$
    $x(2x +3) = 0$
    Корни: $x=0$ и $x=-\frac{3}{2}$
    Проверка на ОДЗ: Знаменатели не обращаются в ноль при найденных x.
    Ответ: $0; -\frac{3}{2}$.

  2. При каких значениях $p$ произведение корней уравнения $x^{2}-2 x+p=0$ больше нуля?
    Решение: По теореме Виета произведение корней равно $p$. Условие $p > 0$.
    Для существования действительных корней дискриминант должен быть неотрицателен:
    $D = 4 -4p \ge 0 \Rightarrow p \le 1$
    Объединяя условия: $0 < p \le 1$
    Ответ: $p \in (0; 1]$.

  3. На координатной плоскости изобразите множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $(x-y)^{2}<9$, меньше 2 от меньше 2 от меньше 2 от меньше 2 от начала координат.
    Решение:
    1. $(x-y)^2 <9 \Rightarrow |x-y| <3$ — полоса между прямыми $y = x+3$ и $y = x-3$
    2. $x^2 + y^2 \ge 4$ — внешность круга радиусом 2 с центром в начале координат
    Искомое множество — пересечение этих областей.
    Графически: полоса между наклонными прямыми, исключая внутреннюю часть круга радиусом 2.

  4. Первую половину пути автобус проехал со скоростью 40 км/ч, а затем увеличил скорость. Какой могла быть скорость автобуса на втором участке пути, если известно, что его средняя скорость на всём пути не превышала 60 км/ч?
    Решение: Пусть общий путь $2S$, время на первом участке $t_1 = \frac{S}{40}$, на втором $t_2 = \frac{S}{v}$
    Средняя скорость: $\frac{2S}{t_1 + t_2} \le 60$
    $\frac{2S}{\frac{S}{40} + \frac{S}{v}} \le 60 \Rightarrow \frac{2}{\frac{1}{40} + \frac{1}{v}} \le 60$
    $\frac{1}{40} + \frac{1}{v} \ge \frac{1}{30}$
    $\frac{1}{v} \ge \frac{1}{30} - \frac{1}{40} = \frac{1}{120} \Rightarrow v \le 120$
    Учитывая, что скорость увеличилась: $v >40$
    Ответ: $v \in (40; 120]$.

  5. Точки $K, L$ и $M$ находятся на сторонах треугольника $A B C$ между точками $A$ и $B, B$ и $C$ и $A$ и $C$ соответственно. $A K$ относится к $K B$ как 1 к $3, B L$ к $L C$ как 2 к 3, а $A M$ к $M C$ как 4 к $5 .$ Найти отношение площади треугольника $B L M$ к площади треугольника $C M K .$
    Решение: Введем массовые коэффициенты:
    • Для точки K: масса A =3, B=1
    • Для точки L: масса B=3, C=2
    • Для точки M: масса A=5, C=4
    Используя барицентрические координаты, находим координаты точек и площади:
    $S_{BLM} : S_{CMK} = \frac{3}{5} : \frac{4}{9} = \frac{27}{20}$
    Ответ: $\frac{27}{20}$.

  6. Какие числа называются иррациональными? Может ли сумма иррациональных чисел быть рациональным числом? Верно ли, что между любыми двумя иррациональными числами всегда есть хотя бы одно рациональное?
    Ответ:
    1. Иррациональные числа — действительные числа, не представимые в виде $\frac{m}{n}$, где $m,n \in \mathbb{Z}$
    2. Да, пример: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) =0$
    3. Да, между любыми двумя действительными числами существует рациональное число (свойство плотности)


  7. Существуют ли такие натуральные числа $a, b$ и $c$, что
    $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}}=a+\sqrt{b}-\sqrt{c}$?
    Решение: Возведем обе части в квадрат:
    $9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60} = a^2 + b + c + 2a\sqrt{b} - 2a\sqrt{c} - 2\sqrt{bc}$
    Сравнивая рациональные и иррациональные части:
    • Рациональная часть: $a^2 + b + c =9$
    • Иррациональные коэффициенты:
      • $\sqrt{12} = 2a\sqrt{b} - 2\sqrt{bc}$
      • $-\sqrt{20} - \sqrt{60} = -2a\sqrt{c}$
    Подбором находим $a=1$, $b=3$, $c=5$:
    $\sqrt{9+\sqrt{12}-\sqrt{20}-\sqrt{60}} =1+\sqrt{3}-\sqrt{5}$
    Проверка:
    $(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 =1 +3 +5 +2\sqrt{3} -2\sqrt{5} -2\sqrt{15} =9 +2\sqrt{3} -2\sqrt{5} -2\sqrt{15}$
    Не совпадает с исходным выражением. Правильное решение:
    $a=2$, $b=3$, $c=5$:
    $(2+\sqrt{3}-\sqrt{5})^2 =4 +3 +5 +4\sqrt{3} -4\sqrt{5} -2\sqrt{15} =12 +4\sqrt{3} -4\sqrt{5} -2\sqrt{15}$
    Не совпадает. Ответ: не существует.
Материалы школы Юайти