ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2013

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ2013-10-1

1. Решите неравенство: $(5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x-4\right) \leq 0$
2. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{2 x^{2}-7 x+5} \leq 1 \\ \left|x^{2}-2 x-3\right| \leq 3 x-3\end{array}\right.$.
3. Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную арифметическую прогрессию.
4. Окружность, вписанная в треугольник $A B C$, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне $B C$. Известно, что $B C=11$. Найдите сторону $A B$.
5. Постройте график функции: $y=\left|\frac{5}{x+1}-3\right|$
6. Миша дал такое «определение» графику функции: «График функции - это множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому выражению».
   1. Любое ли такое множество будет графиком некоторой функции?
   2. Если да, то всегда ли объединение любых двух таких множеств будет графиком некоторой функции? Если нет, то будет ли графиком некоторой функции пересечение данного множества с множеством точек произвольной прямой?
7. В закрытом мешке находится 8 белых шаров и 6 красных. Какова вероятность того, что из выбранных наугад 4 шаров ровно один красный?

Решения задач

1. Решите неравенство: $(5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x-4\right) \leq 0$
   Решение: Найдём ОДЗ подкоренного выражения:
   $-x^{2} +4x -4 \geq0 \Leftrightarrow -(x-2)^{2} \geq0 \Rightarrow x=2$
   Подставим $x=2$ в неравенство:
   $(5 \cdot 2 -1)(\sqrt{0} + 2 \cdot 2 -4) =9 \cdot 0 =0 \leq0$
   Ответ: $x=2$.
2. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{2 x^{2}-7 x+5} \leq 1 \\ \left|x^{2}-2 x-3\right| \leq 3 x-3\end{array}\right.$
   Решение:
   1. Преобразуем первое неравенство:
      $\frac{x-3 - (2x^{2}-7x+5)}{2x^{2}-7x+5} \leq0 \Rightarrow \frac{-2(x-2)^{2}}{(2x-5)(x-1)} \leq0$
      Решение первого неравенства: $x \in (\frac{5}{2}; +\infty) \cup \{2\}$
   2. Решим второе неравенство при $3x-3 \geq0 \Rightarrow x \geq1$:
      $-3x+3 \leq x^{2}-2x-3 \leq3x-3$
      Левая часть: $x^{2}+x \geq0 \Rightarrow x \leq -1 \cup x \geq0$
      Правая часть: $x^{2}-5x \leq0 \Rightarrow x \in [0;5]$
      С учётом $x \geq1$ получим $x \in [2;5]$
   Пересечение решений: $x \in [2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2};5]$
   Ответ: $x \in [2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2};5]$.
3. Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти исходные числа.
   Решение: Пусть члены АП: $15, 8, 1$ (d=-7).
   После преобразований: $25,5,1$ — геометрическая прогрессия с q=$\frac{1}{5}$.
   Проверка: $5^2=25 \cdot1$
   Ответ: $15,8,1$.
4. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (площадь 66, $BC=11$), касается средней линии. Найдите $AB$.
   Решение: Радиус вписанной окружности $r=3$, полупериметр $p=22$.
   $AB + AC =33$. Используя теорему Пифагора для равнобедренного случая, находим $AB=13$.
   Ответ: $13$.
5. Постройте график функции: $y=\left|\frac{5}{x+1}-3\right|$
   Решение: График получается из гиперболы $y=\frac{5}{x+1}$, смещённой на 3 вниз с отражением отрицательных частей:
   - Вертикальная асимптота: $x=-1$
   - Пересечения: $x=\frac{2}{3}$, $y=2$
   
6. 1. Нет. Пример: окружность $x^2+y^2=1$ не является функцией.
   2. Объединение может нарушать свойство функции (один x — несколько y). Пересечение с прямой может быть функцией, если прямая не вертикальна.
7. Вероятность вытащить 1 красный шар из 4:
   $\frac{C(6,1) \cdot C(8,3)}{C(14,4)} = \frac{6 \cdot 56}{1001} = \frac{336}{1001}$
   Ответ: $\frac{336}{1001}$.