ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2013 год
Печать
youit.school ©
ФМШ МИЭМ
2013 год
Вариант ФМШ2013-10-1
- Решите неравенство: $(5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x-4\right) \leq 0$
- Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{2 x^{2}-7 x+5} \leq 1 \\ \left|x^{2}-2 x-3\right| \leq 3 x-3\end{array}\right.$.
- Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа в том же порядке составят геометрическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную арифметическую прогрессию.
- Окружность, вписанная в треугольник $A B C$, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне $B C$. Известно, что $B C=11$. Найдите сторону $A B$.
- Постройте график функции: $y=\left|\frac{5}{x+1}-3\right|$
- Миша дал такое «определение» графику функции: «График функции - это множество точек, координаты которых удовлетворяют некоторому выражению».
- Любое ли такое множество будет графиком некоторой функции?
- Если да, то всегда ли объединение любых двух таких множеств будет графиком некоторой функции? Если нет, то будет ли графиком некоторой функции пересечение данного множества с множеством точек произвольной прямой?
- В закрытом мешке находится 8 белых шаров и 6 красных. Какова вероятность того, что из выбранных наугад 4 шаров ровно один красный?
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Решите неравенство: $(5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x-4\right) \leq 0$
Решение: Найдём ОДЗ подкоренного выражения:
$-x^{2} +4x -4 \geq0 \Leftrightarrow -(x-2)^{2} \geq0 \Rightarrow x=2$
Подставим $x=2$ в неравенство:
$(5 \cdot 2 -1)(\sqrt{0} + 2 \cdot 2 -4) =9 \cdot 0 =0 \leq0$
Ответ: $x=2$. - Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x-3}{2 x^{2}-7 x+5} \leq 1 \\ \left|x^{2}-2 x-3\right| \leq 3 x-3\end{array}\right.$
Решение:- Преобразуем первое неравенство:
$\frac{x-3 - (2x^{2}-7x+5)}{2x^{2}-7x+5} \leq0 \Rightarrow \frac{-2(x-2)^{2}}{(2x-5)(x-1)} \leq0$
Решение первого неравенства: $x \in (\frac{5}{2}; +\infty) \cup \{2\}$ - Решим второе неравенство при $3x-3 \geq0 \Rightarrow x \geq1$:
$-3x+3 \leq x^{2}-2x-3 \leq3x-3$
Левая часть: $x^{2}+x \geq0 \Rightarrow x \leq -1 \cup x \geq0$
Правая часть: $x^{2}-5x \leq0 \Rightarrow x \in [0;5]$
С учётом $x \geq1$ получим $x \in [2;5]$
Ответ: $x \in [2; \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2};5]$. - Преобразуем первое неравенство:
- Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равняется 24. Если к первому числу прибавить 10, от второго отнять 3, а третье оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти исходные числа.
Решение: Пусть члены АП: $15, 8, 1$ (d=-7).
После преобразований: $25,5,1$ — геометрическая прогрессия с q=$\frac{1}{5}$.
Проверка: $5^2=25 \cdot1$
Ответ: $15,8,1$. - Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (площадь 66, $BC=11$), касается средней линии. Найдите $AB$.
Решение: Радиус вписанной окружности $r=3$, полупериметр $p=22$.
$AB + AC =33$. Используя теорему Пифагора для равнобедренного случая, находим $AB=13$.
Ответ: $13$. - Постройте график функции: $y=\left|\frac{5}{x+1}-3\right|$
Решение: График получается из гиперболы $y=\frac{5}{x+1}$, смещённой на 3 вниз с отражением отрицательных частей:
- Вертикальная асимптота: $x=-1$
- Пересечения: $x=\frac{2}{3}$, $y=2$
-
- Нет. Пример: окружность $x^2+y^2=1$ не является функцией.
- Объединение может нарушать свойство функции (один x — несколько y). Пересечение с прямой может быть функцией, если прямая не вертикальна.
- Вероятность вытащить 1 красный шар из 4:
$\frac{C(6,1) \cdot C(8,3)}{C(14,4)} = \frac{6 \cdot 56}{1001} = \frac{336}{1001}$
Ответ: $\frac{336}{1001}$.
Материалы школы Юайти