ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2013 год

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ2013-10-2

1. Решите неравенство: $$ (5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x+4\right) \geq 0 $$
2. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{5 x-4-x^{2}} \leq 1 \\ x^{2}-x-2<|5 x-3|\end{array}\right.$.
3. Три числа, сумма которых равна 21, составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Если из первого числа вычесть 1 , ко второму прибавить 1 , а третье оставить без изменения, то получатся числа, составляющие в том же порядке арифметическую прогрессию. Найти числа, составляющие исходную геометрическую прогрессию.
4. В треугольнике $A B C$ сторона $A B=6, B C=8, A C=9 .$ Окружность, проходящая через точки $A$ и $C$, пересекает прямые $B A$ и $B C$ соответственно в т. $K$ и $L$, отличных от вершин треугольника. Отрезок $K L$ касается окружности, вписанной в треугольник $A B C$. Найдите длину отрезка $K L$.
5. Постройте график функции: $y=\left|x^{2}-2 x-3\right|+1$
6. Даша дала такое определение функции: «Функция - это зависимость $y$ от $x \geqslant$.
   1. Какое дополнительное условие нужно добавить к этой формулировке, чтобы получилось настоящее определение функции?
   2. Достаточно ли добавить к данной формулировке фразу «при которой $y$ находится только с одной стороны от знака равенства», чтобы новая формулировка действительно определяла Функцию?
7. В коробке находится 5 кроликов и 6 морских свинок. Какова вероятность того, что из трёх наугад выбранных зверьков один окажется кроликом?

Решения задач

1. Решите неравенство:
   $(5 x-1) \cdot\left(\sqrt{-x^{2}+4 x-4}+2 x+4\right) \geq 0$
   Решение: Рассмотрим подкоренное выражение $\sqrt{-x^2 + 4x -4} = \sqrt{-(x^2-4x+4)} = \sqrt{-(x-2)^2}$. Для существования корня требуется $-(x-2)^2 \geq 0 \Rightarrow x=2$. Подставим $x=2$ в неравенство: $(5 \cdot 2 -1)(0 + 4 +4) =9 \cdot8=72 \geq0 \Rightarrow x=2$
   Ответ: $x=2$.
2. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{5 x-4-x^{2}} \leq 1 \\ x^{2}-x-2<|5 x-3|\end{array}\right.$
   Решение:
   1. Первое неравенство: $\frac{x}{5x-4-x^2} \leq 1$. Переносим 1 влево: $$\frac{x + x^2 -5x +4}{5x -4 -x^2} \leq0 \Rightarrow \frac{(x-2)^2}{-(x-1)(x-4)} \leq0 \Rightarrow x\in[1;4)$$
   2. Второе неравенство разбиваем на случаи:
      • $5x-3 \geq0 \Rightarrow x \geq 0.6$: $x^2 -6x +1 <0 \Rightarrow x\in(3-2\sqrt2;3+2\sqrt2)$
      • $5x-3 <0 \Rightarrow x <0.6$: $x^2 +4x -5 <0 \Rightarrow x\in(-5;1)$
      Общее решение: $x\in(-5;1)\cup(3-2\sqrt2;3+2\sqrt2)$. Пересечение с первым неравенством: $x\in[1;3+2\sqrt2)$. Учтем ОДЗ $x \neq1,4$: $\boldsymbol{[1;3+2\sqrt2)}$
   Ответ: $x\in[1;3+2\sqrt2)$, где $3+2\sqrt2 \approx5.828$.
3. Три числа составляют геометрическую прогрессию: $a$, $ar$, $ar^2$. Сумма $a + ar + ar^2 = 21$. После изменений: $(ar +1) - (a -1) = ar^2 - (ar +1) \Rightarrow ar^2 -2ar +a -3=0$ Из первого уравнения $a = 21/(1 + r + r^2)$. Подстановка даёт: $(r -2)(r +1)(1 -r + r^2)=0 \Rightarrow r=2 \Rightarrow a=3$\\ Ответ: $\{3,\ 6,\ 12\}$.
4. В треугольнике $ABC$ проведем анализ окружностей. Касание вписанной окружности с $KL$ подразумевает их параллельность $AC$. Используя подобие треугольников $ABC$ и $KBL$: $$\frac{KL}{AC} = \frac{r}{R} \Rightarrow KL = \frac{4}{3}$$\\ Ответ: $KL=\frac{4}{3}$.
5. Постройте график функции: $y=\left|x^{2}-2 x-3\right|+1$ \\ Решение:
   1. Построим параболу $y=x^2-2x-3$, вершина в $(1;-4)$.
   2. Отразим часть графика ниже оси OX.
   3. Сдвинем весь график на 1 вверх.
   График состоит из двух ветвей: $\boldsymbol{y=(x^2-2x-3)+1}$ при $|x^2-2x-3|=x^2-2x-3$ (верхние участки) и $\boldsymbol{y=-(x^2-2x-3)+1}$ при $|x^2-2x-3|=-(x^2-2x-3)$ (отражённые части).
6. Определение функции:
   1. Нужно добавить: «каждому $x \geqslant$ соответствует единственное значение $y$».
   2. Нет, фраза не гарантирует единственность. Например, $y=x ±1$ имеет две стороны от равенства для одного $x$. Ответ: (а) добавляем «единственность y для каждого x», (б) нет.
7. Вероятность выбрать 1 кролика и 2 свинок: \\ Общее число способов: $\binom{11}{3} = 165$. Благоприятные: $\binom{5}{1} \cdot \binom{6}{2} =5 \cdot15=75$. Вероятность: $75/165 = 5/11$. Ответ: $\frac{5}{11}$.