ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2013 год

ФМШ МИЭМ

2013 год

Вариант ФМШ2013-II-10-1

1. Решите неравенство: $|x-3|+2 \cdot|x+1|>4 x+3$.
2. Решите неравенство: $\frac{(x-7)^{3} \cdot(x+3)^{4} \cdot(x-8)^{2}}{\left(9-x^{2}\right) \cdot(21-3 x)^{4} \cdot(x-9)} \geq 0$.
3. Многочлен $P(x)$ при делении на $(x-3)$ дает в остатке 14, а при делении на $(x+5)$ в остатке 6 . Чему равен остаток от деления этого многочлена на $(x-3) \cdot(x+5) ?$
4. Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 3. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых 1:2. Найти площадь трапеции.
5. Постройте график функции: $y=2-\frac{1}{|2 x-1|}$
6. Какие условия при формулировке теорем называются необходимыми, а какие достаточными? Привести пример теоремы, в которой сформулированные условия являются необходимыми, но не являются достаточными.
7. Является ли число $\frac{9^{2013}-7^{2014}}{10}$ целым? Ответ обосновать.

Решения задач

1. Решите неравенство: $|x-1|1|1|>4 x+3$.
   Решение: Разобьем числовую прямую на интервалы по точкам $x = -1$ и $x = 3$:
   • Интервал $x < -1$: Раскрываем модули как $-(x-3) - 2(x+1) > 4x + 3$. Получаем $-3x + 1 > 4x + 3 \Rightarrow x < -\frac{2}{7}$. Учитывая интервал: $x < -1$.
   • Интервал $-1 \leq x < 3$: Раскрываем модули как $-(x-3) + 2(x+1) > 4x + 3$. Получаем $x + 5 > 4x + 3 \Rightarrow x < \frac{2}{3}$. Учитывая интервал: $-1 \leq x < \frac{2}{3}$.
   • Интервал $x \geq 3$: Раскрываем модули как $(x-3) + 2(x+1) > 4x + 3$. Получаем $3x -1 > 4x + 3 \Rightarrow x < -4$. Решений нет.
   Объединяя решения: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.
   Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.
2. Решите неравенство: $\frac{(x-7)^{3} \cdot(x+3)^{4} \cdot(x-8)^{2}}{\left(9-x^{2}\right) \cdot(21-3 x)^{4} \cdot(x-9)} \geq 0$.
   Решение: Преобразуем знаменатель: \[ 9 - x^2 = -(x-3)(x+3), \quad 21 - 3x = 3(7 - x) \] Упростим неравенство: \[ \frac{(x-7)^3 (x+3)^3 (x-8)^2}{-3^4 (x-3)(x-7)(x-9)} \geq 0 \] Сокращаем множители и анализируем методом интервалов:
   • Нули числителя: $x = 8$ (чётная степень), $x = 7$ (нечётная степень).
   • Нули знаменателя: $x = 3$, $x = 7$, $x = 9$.
   Знаки выражения на интервалах: $(-\infty, 3)$, $(3, 7)$, $(7, 9)$, $(9, +\infty)$. Учитывая кратности и знаки: \[ x \in (-\infty, 3) \setminus \{-3\} \cup (7, 9) \] Учитывая $x = 8$ (числитель ноль):
   Ответ: $x \in (-\infty, 3) \setminus \{-3\} \cup [8, 9)$.
3. Многочлен $P(x)$ при делении на $(x-3)$ дает в остатке 14, а при делении на $(x+5)$ в остатке 6. Чему равен остаток от деления этого многочлена на $(x-3) \cdot(x+5) ?$
   Решение: Остаток $R(x) = ax + b$. По теореме Безу: \[ \begin{cases} 3a + b = 14 \\ -5a + b = 6 \end{cases} \Rightarrow a = 1, \quad b = 11 \] Ответ: $R(x) = x + 11$.
4. Дана равнобочная трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковые стороны трапеции равны 3. Средняя линия делит трапецию на две части, отношение площадей которых 1:2. Найти площадь трапеции.
   Решение: Сумма оснований $a + b = 6$ (условие вписанной окружности). Средняя линия $m = 3$. Высота $h$ находится из соотношения: \[ \left(\frac{b - a}{2}\right)^2 + h^2 = 3^2 \Rightarrow h = \sqrt{5} \] Площадь трапеции: \[ S = m \cdot h = 3 \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \] Ответ: $3\sqrt{5}$.
5. Постройте график функции: $y=2-\frac{1}{|2 x-1|}$.
   Решение: Функция определена при $x \neq \frac{1}{2}$. Раскрываем модуль:
   • При $x > \frac{1}{2}$: $y = 2 - \frac{1}{2x - 1}$ (гипербола с асимптотой $y = 2$).
   • При $x < \frac{1}{2}$: $y = 2 - \frac{1}{1 - 2x}$ (гипербола с асимптотой $y = 2$).
   Вертикальная асимптота $x = \frac{1}{2}$, горизонтальная асимптота $y = 2$. Точки пересечения с осями: $(\frac{1}{4}, 0)$, $(\frac{3}{4}, 0)$, $(0, 1)$.
   Ответ: График построен.
6. Какие условия при формулировке теорем называются необходимыми, а какие достаточными? Привести пример теоремы, в которой сформулированные условия являются необходимыми, но не являются достаточными.
   Решение:
   • Необходимое условие — условие, которое должно выполняться для истинности утверждения, но его недостаточно.
   • Достаточное условие — условие, гарантирующее истинность утверждения, но не обязательно необходимое.
   Пример: "Если число делится на 4, то оно чётное". Условие "чётное" — необходимое, но не достаточное (например, 6 чётное, но не делится на 4).
7. Является ли число $\frac{9^{2013}-7^{2014}}{10}$ целым? Ответ обосновать.
   Решение: Найдём последние цифры:
   • $9^{2013}$: последняя цифра 9 (нечётная степень).
   • $7^{2014}$: последняя цифра 9 (2014 ≡ 2 mod 4 → вторая позиция периода 7,9,3,1).
   Разность $9 - 9 = 0$ → число оканчивается на 0, значит делится на 10.
   Ответ: Да, является целым.