8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2012 вариант 2

Сложность:
Дата экзамена: 2012
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2012 год


Вариант ФМШ2012-10-2



  1. Упростить выражение: $$ \frac{9-c^{2}}{c^{3}+27} \cdot\left(\frac{(c-3)^{4}}{9-6 c+c^{2}}+3 c\right) $$
  2. Решить систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}+3 x+2=0 \\ (2 x+1)(x+2)=0 \end{array}\right. $$
  3. Решить неравенство: $\frac{27}{x}>\sqrt{x}$.
  4. Вася добирается из дома до института за 45 минут. Из них 15 минут он идёт пешком, а остальное время едет на метро. Проснувшись утром, Вася обнаружил, что проспал. Подумав, он решил, что если он будет бежать бегом, то может выйти на 10 минут позже, чем обычно. Успеет ли Вася добраться до института вовремя, если бежит он в 2 раза быстрее, чем идёт пешком? На сколько минут позже ему можно выходить из дома, чтобы точно не опоздать в институт?
  5. Окружности радиусов 1 и 4 касаются внешним образом. К окружностям проведена общая касательная;
    1. найти расстояние между точками касания окружностей;
    2. найти расстояния между всеми парами точек большей окружности, через которые проходят общие касательные, удовлетворяющие условиям задачи.
  6. Построить график функции $f(x)=-\frac{1}{(\sqrt{x})^{2}}$. При каких значениях параметра $a$ уравнение $a-2 x=-\frac{1}{(\sqrt{x})^{2}}$ имеет единственное решение?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростить выражение:
    $\frac{9-c^{2}}{c^{3}+27} \cdot\left(\frac{(c-3)^{4}}{9-6 c+c^{2}}+3 c\right)$
    Решение:
    Разложим числитель и знаменатель первой дроби:
    $\frac{(3-c)(3+c)}{(c+3)(c^2-3c+9)} \cdot \left(\frac{(c-3)^4}{(c-3)^2} + 3c\right) = \frac{-(c-3)}{c^2-3c+9} \cdot ((c-3)^2 + 3c)$
    Упростим выражение в скобках:
    $(c-3)^2 + 3c = c^2 -6c +9 +3c = c^2 -3c +9$
    Подставим обратно:
    $\frac{-(c-3)(c^2-3c+9)}{c^2-3c+9} = -(c-3) = 3 - c$
    Ответ: $3 - c$.

  2. Решить систему уравнений:
    $\left\{\begin{array}{l} x^{2}+3 x+2=0 \\ (2 x+1)(x+2)=0 \end{array}\right$.
    Решение:
    Решим первое уравнение:
    $x^2 +3x +2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1$ или $x = -2$
    Решим второе уравнение:
    $(2x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -0,5$ или $x = -2$
    Общее решение системы: $x = -2$
    Ответ: $x = -2$.

  3. Решить неравенство: $\frac{27}{x}>\sqrt{x}$.
    Решение:
    ОДЗ: $x > 0$
    Возведём обе части в квадрат:
    $\left(\frac{27}{x}\right)^2 > x \Rightarrow \frac{729}{x^2} > x \Rightarrow 729 > x^3 \Rightarrow x < 9$
    С учётом ОДЗ: $0 < x < 9$
    Ответ: $x \in (0; 9)$.

  4. Вася тратит обычно:
    - Пешком: 15 мин
    - На метро: 30 мин
    При беге скорость в 2 раза больше $\Rightarrow$ время пешком: $15 : 2 = 7,5$ мин
    Если выйдет на 10 мин позже: общее время $7,5 + 30 = 37,5$ мин > $45 - 10 = 35$ мин $\Rightarrow$ опоздает
    Максимальное допустимое опоздание:
    $45 - t \geq 7,5 + 30 \Rightarrow t \leq 7,5$ мин
    Ответ: не успеет; на 7,5 минут.

    1. Расстояние между центрами окружностей: $1 + 4 = 5$
      Длина общей внешней касательной:
      $L = \sqrt{5^2 - (4-1)^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$
      Ответ: 4.

    2. Угол между радиусами в точках касания:
      $\sin \alpha = \frac{4-1}{5} = \frac{3}{5} \Rightarrow \alpha = \arcsin\left(\frac{3}{5}\right)$
      Расстояние между точками на большей окружности:
      $2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \sqrt{1 - (3/5)^2}}{2}} = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{8\sqrt{5}}{5}$
      Ответ: $\frac{8\sqrt{5}}{5}$.


  6. Функция $f(x) = -\frac{1}{x}$ определена при $x > 0$
    Уравнение $a - 2x = -\frac{1}{x} \Rightarrow 2x^2 - ax -1 = 0$
    Дискриминант: $D = a^2 + 8 > 0$ всегда
    Произведение корней: $-\frac{1}{2} < 0$ $\Rightarrow$ один положительный корень
    Ответ: при всех $a \in \mathbb{R}$.
Материалы школы Юайти