ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2012 год (вариант 1)

ФМШ МИЭМ

2012 год

Вариант ФМШ2012-10-1

1. Упростить выражение: $$ \frac{b^{2}-4}{8-b^{3}} \cdot\left(\frac{(2+b)^{4}}{b^{2}+4 b+4}-2 b\right) $$
2. Решить систему уравнений: $$ \left\{\begin{array}{l} x^{2}-3 x+2=0 \\ (2 x-1)(x-2)=0 \end{array}\right. $$
3. Решить неравенство: $\frac{8}{x}<\sqrt{x}$.
4. Павел добирается из дома до института за 50 минут. Из них 20 минут он идёт пешком, а остальное время едет на метро. Вечером Павел подвернул ногу и выяснил, что скорость его передвижения пешком уменьшилась в 2 раза. Успеет ли Павел добраться до института вовремя, если следующим утром выйдет из дома на 15 минут раньше, чем обычно? За какое время ему необходимо выходить из дома, чтобы точно не опоздать в институт?
5. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. К окружностям проведена общая касательная;
   1. найти расстояние между точками касания окружностей;
   2. найти расстояния между всеми парами точек меньшей окружности, через которые проходят общие касательные, удовлетворяющие условиям задачи.
6. Построить график функции $f(x)=\frac{1}{(\sqrt{x})^{2}} .$ При каких значениях параметра $a$ уравнение $2 a-x=\frac{1}{(\sqrt{x})^{2}}$ имеет единственное решение?

Решения задач

1. Упростить выражение:
   $\frac{b^{2}-4}{8-b^{3}} \cdot\left(\frac{(2+b)^{4}}{b^{2}+4 b+4}-2 b\right)$
   Решение:
   Разложим числитель и знаменатель первой дроби:
   $\frac{(b-2)(b+2)}{(2 - b)(4 + 2b + b^2)} \cdot \left(\frac{(b+2)^4}{(b+2)^2} - 2b\right) = \frac{(b-2)(b+2)}{-(b-2)(b^2 + 2b + 4)} \cdot \left((b+2)^2 - 2b\right)$
   Сократим $(b-2)$ и учтём знак:
   $-\frac{(b+2)}{b^2 + 2b + 4} \cdot (b^2 + 4b + 4 - 2b) = -\frac{(b+2)}{b^2 + 2b + 4} \cdot (b^2 + 2b + 4) = -(b + 2)$
   Ответ: $-b - 2$.
   
   
2. Решить систему уравнений:
   $\left\{\begin{array}{l} x^{2}-3 x+2=0 \\ (2 x-1)(x-2)=0 \end{array}\right$.
   Решение:
   Решим первое уравнение:
   $x^2 - 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 1$ или $x = 2$
   Решим второе уравнение:
   $(2x - 1)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ или $x = 2$
   Общее решение системы: $x = 2$
   Ответ: $x = 2$.
   
   
3. Решить неравенство: $\frac{8}{x}<\sqrt{x}$
   Решение:
   ОДЗ: $x > 0$
   Умножим обе части на $x$ (знак неравенства сохраняется):
   $8 < x \cdot \sqrt{x} \Rightarrow 8 < x^{3/2}$
   Возведём обе части в квадрат:
   $64 \sqrt[3]{64} = 4$
   Ответ: $x \in (4; +\infty)$.
   
   
4. Павел добирается из дома до института за 50 минут. Из них 20 минут идёт пешком, 30 минут едет на метро. После травмы скорость пешком уменьшилась вдвое:
   Новое время пешком: $20 \cdot 2 = 40$ минут
   Общее время: $40 + 30 = 70$ минут
   При выходе на 15 минут раньше: $50 + 15 = 65$ минут < 70 → не успеет
   Чтобы не опоздать, нужно выйти на $70 - 50 = 20$ минут раньше
   Ответ: Не успеет; выходить на 20 минут раньше.
   
   
5. Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом:
   1. Расстояние между центрами: $4 + 9 = 13$
      Длина общей внешней касательной:
      $\sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$
      Ответ: 12.
      
      
   2. Угол между линией центров и касательной:
      $\cos \theta = \frac{9 - 4}{13} = \frac{5}{13}$
      Длина хорды в меньшей окружности:
      $2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = 8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{5}{13}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{16\sqrt{13}}{13}$ : $\: $\: $\frac{16\sqrt{13}}{13}$.
   
   
   
6. Построить график функции $f(x)=\frac{1}{(\sqrt{x})^{2}} = \frac{1}{x}$ при $x > 0$
   Уравнение $2a - x = \frac{1}{x}$:
   Преобразуем: $x(2a - x) = 1 \Rightarrow -x^2 + 2a x - 1 = 0$
   Дискриминант: $D = 4a^2 - 4$
   Единственное решение при:
   1) $D = 0 \Rightarrow a = \pm 1$, но для $x > 0$ подходит только $a = 1$
   2) Один корень положительный, другой отрицательный (невозможно, так как произведение корней равно 1)
   Ответ: $a = 1$.