ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2010 год

ФМШ МИЭМ

2010 год

Вариант 2010-9-2

1. Упростить выражение: \[ \frac{3}{a\cdot(a-3)\cdot(a-c)} \;+\; \frac{3}{3\cdot(3-c)\cdot(3-a)} \;+\; \frac{3}{c\cdot(c-a)\cdot(c-3)}. \]
2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(-4\) и \(14\).
3. Дана прямая, являющаяся графиком функции \(y = -x + 2\). Постройте любую прямую, параллельную ей, и запишите функцию, графиком которой она является.
4. На велосипеде расстояние между двумя деревнями преодолевается за \(1{,}5\) часа, а на старой кляче, запряжённой в телегу, за \(2\) часа. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что она больше скорости клячи на \(7\) км/ч.
5. \[ 3 \times 7 = 21 = 25 - 4 = 5^2 - 4, \quad 17 \times 21 = 357 = 361 - 4 = 19^2 - 4. \] Верно ли аналогичное утверждение для любых натуральных чисел, разность которых равна \(4\)?
6. Треугольник \(ABC\) прямоугольный. Из вершины прямого угла на гипотенузу опущены медиана и биссектриса. Угол между медианой и биссектрисой равен \(20^\circ\). Найдите острые углы треугольника \(ABC\).
7. Найдите площадь большого квадрата, если известна площадь заштрихованных квадрата и прямоугольника.
   

Решения задач

1. Упростить выражение: \[ \frac{3}{a\cdot(a-3)\cdot(a-c)} \;+\; \frac{3}{3\cdot(3-c)\cdot(3-a)} \;+\; \frac{3}{c\cdot(c-a)\cdot(c-3)}. \] Решение:
   Упростим знаменатели второго и третьего слагаемых, учитывая, что $(3 - a) = -(a - 3)$, а $(c - a) = -(a - c)$: \[ \frac{3}{a(a-3)(a-c)} + \frac{-1}{(a-3)(3-c)} + \frac{3}{c(a-c)(3-c)}. \] Приведем к общему знаменателю $3 \cdot a \cdot c \cdot (a - 3)(a - c)(3 - c)$ и сложим числители: \[ \frac{3(3c(3 - c) - ac(a - c) + 3a(a - 3))}{3ac(a - 3)(a - c)(3 - c)}. \] Числитель после раскрытия и упрощения: \[ 27c - 9c^2 - 3a^2c + 3ac^2 + 9a^2 - 27a = 0. \] Таким образом, выражение равно 0.
   Ответ: 0.
   
   
2. Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа \(-4\) и \(14\).
   Решение:
   Используя теорему Виета: \[ x^2 - (-4 + 14)x + (-4) \cdot 14 = x^2 -10x -56 = 0. \] Ответ: \(x^2 -10x -56 =0\).
   
   
3. Дана прямая, являющаяся графиком функции \(y = -x + 2\). Постройте любую прямую, параллельную ей, и запишите функцию, графиком которой она является.
   Решение:
   Параллельные прямые имеют одинаковый угловой коэффициент \(k = -1\). Пример: \[ y = -x + 5. \] Ответ: Любая функция вида \(y = -x + C\), например \(y = -x +5\).
   
   
4. На велосипеде расстояние между двумя деревнями преодолевается за \(1{,}5\) часа, а на старой кляче за \(2\) часа. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что она больше скорости клячи на \(7\) км/ч.
   Решение:
   Пусть скорость клячи \(v\) км/ч. Тогда скорость велосипедиста \(v +7\) км/ч. Расстояние \(S\): \[ S = 1{,}5(v+7) = 2v. \] \[ 1{,}5v +10{,}5 = 2v \implies 0{,}5v =10{,}5 \implies v =21~\text{км/ч}. \] Скорость велосипедиста: \(21 +7 =28\) км/ч.
   Ответ: 28 км/ч.
   
   
5. \[ 3 \times 7 = 21 = 5^2 - 4, \quad 17 \times 21 = 357 = 19^2 - 4. \] Верно ли аналогичное утверждение для любых натуральных чисел, разность которых равна \(4\)?
   Решение:
   Пусть числа \(a\) и \(a+4\). Их произведение: \[ a(a+4) = \left(a +2\right)^2 -4. \] Тождество верно для любых натуральных \(a\).
   Ответ: Да, верно.
   
   
6. Треугольник \(ABC\) прямоугольный. Из вершины прямого угла на гипотенузу опущены медиана и биссектриса. Угол между медианой и биссектрисой равен \(20^\circ\). Найдите острые углы треугольника \(ABC\).
   Решение:
   Пусть катеты \(AC = a\), \(BC = b\). Угловые коэффициенты медианы и биссектрисы: \[ k_{\text{м}} = \frac{b}{a}, \quad k_{\text{б}} = 1. \] Тангенс угла между прямыми: \[ \tan20^\circ = \left|\frac{1 - \frac{b}{a}}{1 + \frac{b}{a}}\right| \implies \frac{a -b}{a +b} \approx0{,}364. \] Решая уравнение, находим отношение \(a \approx2{,}143b\). Острые углы: \[ \angle A \approx25^\circ, \quad \angle B \approx65^\circ. \] Ответ: \(25^\circ\) и \(65^\circ\).
   
   
7. Найдите площадь большого квадрата, если известна площадь заштрихованных квадрата и прямоугольника.
   Решение:
   Предположим, площадь малого квадрата \(S_1 =a^2\), прямоугольника \(S_2 =ab\). Диагональ большого квадрата равна сумме стороны малого квадрата и диагонали прямоугольника. Площадь большого квадрата: \[ S = (a +b\sqrt{2})^2 =a^2 +2ab\sqrt{2} +2b^2. \] Ответ: Площадь большого квадрата зависит от данных картинки и требует дополнительных условий для точного вычисления.