ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2009 вариант 2

ФМШ МИЭМ

2009 год

Вариант 2009-I-2

1. Упростить выражение: $$ \left(\frac{a-4}{a^{2}+4 a}-\frac{4}{a^{3}-16 a} \times \frac{(4-a)^{2}}{a+4}\right): \frac{a-4}{a^{2}+4 a} $$
2. Найти все неположительные корни уравнения: $3 x^{2}+6 x=0$
3. Построить графики функций $y=|x|+2$ и $y=4$ и найти координаты точек, в которых эти графики пересекаются.
4. Черепаха проплыла 6 км по течению реки в одном направлении и затем приплыла обратно, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Из-за высокого спроса на некоторый товар его цена увеличилась на $25 \%$, однако через некоторое время она снизилась на $20 \%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
6. Диагонали ромба равны $a$ и $a \sqrt{3}$. Найдите углы ромба.
7. Известно, что $a b=7$, а $a^{2}+b^{2}=50$. Какие натуральные значения могут принимать $a$ и $b$? Обоснуйте ответ.

Решения задач

1. Упростить выражение: $$ \left(\frac{a-4}{a^{2}+4 a}-\frac{4}{a^{3}-16 a} \times \frac{(4-a)^{2}}{a+4}\right): \frac{a-4}{a^{2}+4 a} $$ Решение: Разложим знаменатели на множители: $$ a^{2}+4a = a(a+4), \quad a^{3}-16a = a(a^{2}-16) = a(a-4)(a+4) $$ Преобразуем второе слагаемое в скобках: $$ \frac{4}{a(a-4)(a+4)} \cdot \frac{(4-a)^{2}}{a+4} = \frac{4(a-4)^{2}}{a(a-4)(a+4)^{2}} = \frac{4(a-4)}{a(a+4)^{2}} $$ Выносим общий множитель в первом слагаемом: $$ \frac{a-4}{a(a+4)} - \frac{4(a-4)}{a(a+4)^{2}} = \frac{(a-4)(a+4) - 4(a-4)}{a(a+4)^{2}} = \frac{(a-4)(a)}{a(a+4)^{2}} = \frac{a-4}{(a+4)^{2}} $$ Делим результат на дробь: $$ \frac{a-4}{(a+4)^{2}} : \frac{a-4}{a(a+4)} = \frac{a-4}{(a+4)^{2}} \cdot \frac{a(a+4)}{a-4} = \frac{a}{a+4} $$ Ответ: $\dfrac{a}{a+4}$.
2. Найти все неположительные корни уравнения: $3 x^{2}+6 x=0$ Решение: $$ 3x^{2}+6x = 3x(x+2) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ Неположительные корни: $x = 0$ и $x = -2$. Ответ: $0$ и $-2$.
3. Построить графики функций $y=|x|+2$ и $y=4$ и найти координаты точек пересечения. Решение: График $y=|x|+2$ — V-образная кривая с вершиной в $(0,2)$. Точки пересечения с горизонтальной прямой $y=4$: $$ |x| + 2 = 4 \implies |x| = 2 \implies x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2 $$ Ответ: $(2, 4)$ и $(-2, 4)$.
   
   
4. Черепаха проплыла 6 км по течению и обратно, затратив 4 часа. Собственная скорость черепахи при течении 2 км/ч. Решение: Пусть $v$ — собственная скорость (км/ч). По течению скорость $v+2$, против — $v-2$. Уравнение времени: $$ \frac{6}{v+2} + \frac{6}{v-2} = 4 $$ Упростим: $$ \frac{6(v-2) + 6(v+2)}{(v+2)(v-2)} = 4 \implies \frac{12v}{v^{2}-4} = 4 \implies 12v = 4v^{2}-16 $$ Решим квадратное уравнение: $$ 4v^{2}-12v-16 = 0 \implies v^{2}-3v-4 = 0 \implies v = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} $$ Положительный корень: $v = \frac{8}{2} = 4$ км/ч. Ответ: 4 км/ч.
5. Изменение цены: сначала +25\%, потом -20\%. Найти итоговое изменение. Решение: Пусть начальная цена $P$. После повышения: $1.25P$. После понижения: $$ 0.8 \cdot 1.25P = P $$ Ответ: цена не изменилась (0\%).
6. Диагонали ромба $a$ и $a\sqrt{3}$. Найти углы. Решение: Диагонали делятся пополам. Половины диагоналей: $\frac{a}{2}$ и $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Каждый угол ромба состоит из двух углов прямоугольных треугольников с катетами $\frac{a}{2}$ и $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Тангенс угла: $$ \tan\theta = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = 30^{\circ} $$ Смежный угол: $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$. Ответ: $60^{\circ}$ и $120^{\circ}$ (удвоенные углы треугольников).
7. Натуральные $a$ и $b$ при $ab=7$ и $a^{2}+b^{2}=50$. Решение: Единственные натуральные делители 7: $1$ и $7$. Проверка: $$ 1^{2} + 7^{2} = 1 + 49 = 50 $$ Ответ: $a=1, b=7$ или $a=7, b=1$.