ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2009 год (вариант 1)

ФМШ МИЭМ

2009 год

Вариант 2009-I-1

1. Упростить выражение: $\left(\frac{3-a}{9+3 a}-\frac{1}{9-a^{2}} \times \frac{(a-3)^{2}}{3+a}\right): \frac{3-a}{9+3 a}$
2. Найти все неотрицательные корни уравнения: $2 x^{2}-2 x=0$
3. Построить графики функций $y=|x|-2$ и $y=1$ и найти координаты точек, в которых эти графики пересекаются.
4. Черепаха проплыла 8 км по течению реки в одном направлении и затем вернулась обратно, затратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость черепахи, если скорость течения реки 2 км/ч.
5. Из-за низкого спроса на некоторый товар его цена снизилась на $20 \%$, однако через некоторое время она увеличилась на $25 \%$ от новой цены. На сколько процентов от первоначальной цены изменилась цена на данный товар после второго изменения?
6. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
7. Известно, что $x^{2}+y^{2}=37$, а $x y=6$. Какие натуральные значения могут принимать $x$ и $y$ ? Обоснуйте ответ.

Решения задач

1. Упростить выражение: $\left(\frac{3-a}{9+3a}-\frac{1}{9-a^{2}} \times \frac{(a-3)^{2}}{3+a}\right): \frac{3-a}{9+3a}$ Решение:
   $\left(\frac{3 - a}{3(3 + a)} - \frac{1}{(3 - a)(3 + a)} \cdot \frac{(a - 3)^{2}}{(3 + a)}\right) : \frac{3 - a}{3(3 + a)} = $
   
   Упростим второе слагаемое:
   $\frac{(a - 3)^2}{(3 - a)(3 + a)^2} = \frac{(3 - a)^2}{(3 - a)(3 + a)^2)} = \frac{3 - a}{(3 + a)^2}$
   
   Тогда выражение примет вид:
   $\left( \frac{3 - a}{3(3 + a)} - \frac{3 - a}{(3 + a)^2} \right) \cdot \frac{3(3 + a)}{3 - a} = $
   
   Вынесем общий множитель $(3 - a)/(3 + a)$:
   $\frac{3 - a}{(3 + a)} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{(3 + a)} \right) \cdot \frac{3(3 + a)}{3 - a} = \left( \frac{3 + a - 3}{3(3 + a)} \right) \cdot 3 = \frac{a}{3(3 + a)} \cdot 3 = \frac{a}{3 + a}$
   Ответ: $\boxed{\dfrac{a}{a + 3}}$
   
   
2. Найти все неотрицательные корни уравнения: $2 x^{2} - 2 x = 0$ Решение: $2x(x - 1) = 0$ Корни $x = 0$ и $x = 1$. Оба корня неотрицательны.
   Ответ: $0; 1$.
3. Построить графики функций $y = |x| - 2$ и $y = 1$ и найти координаты точек пересечения. Решение: Для $y = |x| - 2$ график V-образный с вершиной в $(0; -2)$. Решим уравнение $|x| - 2 = 1$:
   $|x| = 3 \Rightarrow x = 3$ или $x = -3$. Точки пересечения: $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.
   Ответ: $(-3; 1)$ и $(3; 1)$.
4. Черепаха проплыла 8 км по течению и вернулась обратно, затратив 3 часа. Собственная скорость черепахи — ?, скорость течения — 2 км/ч. Решение: Пусть собственная скорость $x$ км/ч. Тогда: Время по течению: $\frac{8}{x + 2}$ ч Время против течения: $\frac{8}{x - 2}$ ч Уравнение:
   $\frac{8}{x + 2} + \frac{8}{x - 2} = 3$ $8(x - 2) + 8(x + 2) = 3(x^2 - 4)$
   $16x = 3x^2 - 12$
   $3x^2 - 16x - 12 = 0$ Дискриминант: $D = 256 + 144 = 400$, $x = \frac{16 \pm 20}{6}$ Положительный корень: $x = \frac{16 + 20}{6} = 6$ км/ч.
   Ответ: 6 км/ч.
5. Изначальная цена снижена на 20\%, затем увеличена на 25\%. Изменение от первоначальной? Решение: Пусть первоначальная цена $P$. После снижения: $0{,}8P$ После повышения: $0{,}8P \cdot 1{,}25 = 1{,}0P$ Изменение: $0\%$.
   Ответ: Не изменилась.
6. Диагональ прямоугольника вдвое больше одной из сторон. Углы между диагоналями? Решение: Пусть сторона $a$, диагональ $2a$. По теореме Пифагора: $(2a)^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow b = a\sqrt{3}$ Диагонали равны и делятся пополам. Образованный треугольник со сторонами $a$, $a\sqrt{3}/2$, углы 30° и 60°. Между диагоналями углы 60° и 120°.
   Ответ: $60^\circ$ и $120^\circ$.
7. Натуральные $x$ и $y$ при $x^2 + y^2 = 37$ и $xy = 6$. Решение: Из второго уравнения $y = \frac{6}{x}$ (натуральное). Подставим в первое: $x^2 + \frac{36}{x^2} = 37$ → $x^4 - 37x^2 + 36 = 0$ Пусть $t = x^2$, тогда: $t^2 - 37t + 36 = 0$ → $t = 1$ или $t = 36$. Натуральные решения: $(1; 6)$ и $(6; 1)$.
   Ответ: $(1; 6)$ и $(6; 1)$.