8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2005 год

Сложность:
Дата экзамена: 2005
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2005 год


Вариант 1



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{4 a b}{16 a^{2}+8 a b+b^{2}}+\frac{3 a}{4 a+b}\right) \cdot\left(4+\frac{b}{a}\right)^{2}$.
  2. Решить уравнение: $\frac{6}{x}+\frac{6}{x+1}=5$.
  3. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+3 x-28}{x+7} \leq-5 \\ x+7>-1\end{array}\right.$.
  4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты треугольника.
  5. Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку, объём которой 1000 см $^{3}$. Найти размеры листа жести.
  6. Докажите, что сумма двух последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $6 .$
  7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-7 x-8\right|+1$.
  8. Путь от посёлка до станции идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом длина всей дороги равна 9 км. Пешеход на подъёме идёт со скоростью, на 3 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 2 ч, а обратный путь - 2 ч 30 мин. Определите длину подъёма со стороны посёлка и скорость пешехода на подъёме и на спуске.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Упростите выражение: $\left(\frac{4 a b}{16 a^{2}+8 a b+b^{2}}+\frac{3 a}{4 a+b}\right) \cdot\left(4+\frac{b}{a}\right)^{2}$. Решение: Найдем общий знаменатель для дробей в скобках:
    $\frac{4ab}{(4a + b)^2} + \frac{3a(4a + b)}{(4a + b)^2} = \frac{4ab + 12a^2 + 3ab}{(4a + b)^2} = \frac{12a^2 + 7ab}{(4a + b)^2}$
    Умножим на $\left(\frac{4a + b}{a}\right)^2$:
    $\frac{12a^2 + 7ab}{(4a + b)^2} \cdot \frac{(4a + b)^2}{a^2} = \frac{12a^2 + 7ab}{a^2} = 12 + \frac{7b}{a}$
    Ответ: $12 + \dfrac{7b}{a}$.

  2. Решить уравнение: $\frac{6}{x}+\frac{6}{x+1}=5$. Решение: Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:
    $6(x+1) + 6x = 5x(x+1)$
    $6x + 6 + 6x = 5x^2 + 5x$
    $5x^2 - 7x - 6 = 0$
    Дискриминант: $D = 49 + 120 = 169$
    $x = \frac{7 \pm 13}{10} \Rightarrow x = 2$ или $x = -\frac{3}{5}$
    Ответ: $2; -\dfrac{3}{5}$.

  3. Решите систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}+3 x-28}{x+7} \leq-5 \\ x+7>-1\end{array}\right.$ Решение: Преобразуем первое неравенство:
    $\frac{x^2 + 3x - 28 + 5x + 35}{x+7} \leq 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 8x + 7}{x+7} \leq 0 \Rightarrow \frac{(x+1)(x+7)}{x+7} \leq 0$
    $x \in [-1; +\infty)$, исключая $x = -7$
    Второе неравенство: $x > -8$
    Пересечение: $x \in (-8; -7) \cup (-7; -1]$
    Ответ: $(-8; -7) \cup (-7; -1]$.

  4. Один из катетов прямоугольного треугольника на 14 см больше другого, а гипотенуза равна 26 см. Найдите катеты треугольника. Решение: Пусть меньший катет $x$ см:
    $x^2 + (x + 14)^2 = 26^2$
    $2x^2 + 28x + 196 = 676 \Rightarrow x^2 + 14x - 240 = 0$
    Дискриминант: $D = 196 + 960 = 1156 = 34^2$
    $x = \frac{-14 \pm 34}{2} \Rightarrow x = 10$ см
    Катеты: 10 см и 24 см
    Ответ: 10 см и 24 см.

  5. Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см и сделали коробку, объём которой 1000 см³. Найти размеры листа жести. Решение: Пусть ширина $x$ см:
    $5(x - 10)(x + 10 - 10) = 1000$
    $5x(x - 10) = 1000 \Rightarrow x^2 - 10x = 200 \Rightarrow x = 20$ см
    Размеры: 30 см × 20 см
    Ответ: 30 см × 20 см.

  6. Докажите, что сумма двух последовательных натуральных степеней числа 2 делится на 6. Решение: $2^n + 2^{n+1} = 2^n(1 + 2) = 3 \cdot 2^n$
    Так как $2^n$ делится на 2 при $n \geq 1$, то $3 \cdot 2^n$ делится на $6$
    Доказано.

  7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-7x-8\right|+1$. Ответ: Исходная парабола $y = x^2 -7x -8$ имеет вершину в $(\frac{7}{2}, -\frac{81}{4})$, пересекает ось OX в точках $x=-1$ и $x=8$. После отражения отрицательных частей относительно OX и сдвига вверх на 1 единицу график примет вид "трёхгорбой" кривой.

  8. Путь от посёлка до станции занимает 2 часа, обратно — 2,5 часа. Длина пути 9 км. Скорость на подъёме x, на спуске x+3. Длина подъёма y. Решение: Составим систему уравнений:
    $\frac{y}{x} + \frac{9-y}{x+3} = 2$
    $\frac{9-y}{x} + \frac{y}{x+3} = 2.5$
    Решение даёт $x = 3$ км/ч, $y = 3$ км. Скорости: 3 км/ч и 6 км/ч
    Ответ: длина подъёма 3 км, скорости 3 км/ч и 6 км/ч.
Материалы школы Юайти