ФМШ МИЭМ из 8 в 9 класс 2005 год

ФМШ МИЭМ

2005 год

Вариант 2

1. Упростить выражение: $\left(\frac{a b}{25 a^{2}+20 a b+4 b^{2}}-\frac{a}{5 a+2 b}\right) \cdot\left(5+\frac{2 b}{a}\right)^{2}$.
2. Решить уравнение: $\frac{3}{x}-\frac{3}{x+4}=1$.
3. Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-11 x+30}{x-5} \leq 6 \\ 2 x-15<5\end{array}\right.$.
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты треугольника.
5. Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объём коробки равен $1500 \mathrm{~cm}^{3}$.
6. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $7 .$
7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-4 x-5\right|-3$.
8. Путь от туристического лагеря до посёлка идёт сначала под гору, а затем в гору, при этом длина всей дороги paвна 10 км. Туристы на спуске идут со скоростью, на 2 км/ч большей, чем на подъёме. Путь от лагеря до посёлка занимает у них 2 ч 48 мин, а обратный путь - 2 ч 32 мин. Определите длину спуска со стороны лагеря и скорости туристов на спуске и на подъёме.

Решения задач

1. Упростить выражение: $\left(\frac{a b}{25 a^{2}+20 a b+4 b^{2}}-\frac{a}{5 a+2 b}\right) \cdot\left(5+\frac{2 b}{a}\right)^{2}$.
   Решение:
   $\left(\frac{ab}{(5a + 2b)^2} - \frac{a}{5a + 2b}\right) \cdot \left(\frac{5a + 2b}{a}\right)^2$
   В первой скобке приведем к общему знаменателю $(5a + 2b)^2$:
   $\frac{ab - a(5a + 2b)}{(5a + 2b)^2} \cdot \frac{(5a + 2b)^2}{a^2} = \frac{-5a^2 - ab}{a^2} = -5 - \frac{b}{a}$
   Ответ: $-5 - \frac{b}{a}$.
   
   
2. Решить уравнение: $\frac{3}{x}-\frac{3}{x+4}=1$.
   Решение:
   Умножим обе части на $x(x+4)$:
   $3(x+4) - 3x = x(x+4)$
   $12 = x^2 + 4x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x - 12 = 0$
   $D = 64; \quad x = \frac{-4 \pm 8}{2} = \begin{cases} 2, \\ -6 \end{cases}$
   Проверка не показывает ложных корней.
   Ответ: $2; \; -6$.
   
   
3. Решить систему неравенств: $\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2}-11 x+30}{x-5} \leq 6 \\ 2 x-15<5\end{array}\right.$.
   Решение:
   Первое неравенство приведем к виду:
   $(x - 5)(x - 6)/(x - 5) \leq 6 \quad (x \ne 5)$
   При $x > 5$: $x - 6 \leq 6 \quad \Rightarrow \quad x \leq 12$, интервал $(5; 12]$.
   При $x < 5$: $x - 6 \geq 6 \quad \Rightarrow \quad x \geq 12$, нет решений.
   Второе неравенство: $x < 10$.
   Пересечение: $(5; 10)$.
   Ответ: $x \in (5; 10)$.
   
   
4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а один из катетов на 2 см больше другого. Найдите катеты треугольника.
   Решение:
   Пусть катеты $x$ и $x + 2$. По теореме Пифагора:
   $x^2 + (x + 2)^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 + 4x - 96 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 48 = 0$
   $D = 196 = 14^2; \quad x = \frac{-2 \pm 14}{2} = 6$ (отрицательный корень отбрасываем).
   Ответ: $6$ см и $8$ см.
   
   
5. Из прямоугольного листа картона, одна из сторон которого в 2 раза больше другой, склеили коробку. Для этого по углам листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объём коробки равен $1500 \mathrm{~cm}^{3}$.
   Решение:
   Пусть меньшая сторона листа $x$ см, тогда большая $2x$ см. После вырезки:
   Объем: $5(x - 10)(2x - 10) = 1500 \quad \Rightarrow \quad (x - 10)(2x - 10) = 300 \quad \Rightarrow$
   $2x^2 - 30x - 200 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 15x - 100 = 0 \quad D = 625 = 25^2; \quad x = 20$.
   Ответ: $20$ см и $40$ см.
   
   
6. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных степеней числа 2 делится на $7$.
   Решение:
   $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2 + 4) = 2^n \cdot 7$.
   Множитель $7$ обеспечивает делимость на $7$.
   Доказано.
   
   
7. Построить график функции: $y=\left|x^{2}-4 x-5\right|-3$.
   Решение:
   1. Строим параболу $y = x^2 - 4x - 5$ с вершиной $(2; -9)$.
   2. Отражаем часть параболы ниже оси $OX$ вверх: $|x^2 - 4x - 5|$.
   3. Смещаем график на $3$ единицы вниз.
   Нули преобразованной функции:
   $|x^2 - 4x -5| = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \pm 2\sqrt{3}$ и $x = 2 \pm \sqrt{6}$.
   Ответ: График построен.
   
   
8. Путь от туристического лагеря до посёлка идёт сначала под гору, а затем в гору, при этом длина всей дороги равна 10 км. Туристы на спуске идут со скоростью, на 2 км/ч большей, чем на подъёме. Путь от лагеря до посёлка занимает у них 2 ч 48 мин, а обратный путь - 2 ч 32 мин. Определите длину спуска со стороны лагеря и скорости туристов на спуске и на подъёме.
   Решение:
   Пусть $v$ км/ч — скорость на подъёме, тогда на спуске $v + 2$ км/ч. Длина спуска от лагеря $x$ км, подъёма $10 - x$ км.
   Система уравнений:
   $\frac{x}{v+2} + \frac{10 - x}{v} = \frac{14}{5}$,
   $\frac{10 - x}{v+2} + \frac{x}{v} = \frac{38}{15}$.
   Сложив уравнения, получим:
   $\frac{10}{v} + \frac{10}{v+2} = \frac{16}{3} \Rightarrow v = 3$ км/ч.
   Находим $x = 4$ км.
   Ответ: Спуск 4 км, скорости $5$ км/ч и $3$ км/ч.