8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2019 год

Сложность:
Дата экзамена: 2019
Осенние курсы Юайти
Математика/Программирование/Физика
Скидки до 20%
Печать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2019 год


Вариант ФМШ 2019-08-2



  1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $6 + 15 + 24 + \dots + 2976 + 2985 + 2994 + 1000$. (Автор задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва.)

  2. Что означает фраза «точка $A$ не находится внутри геометрической фигуры»? Может ли существовать окружность, которая проходит через точку $A$ и имеет бесконечное количество общих точек с исходной геометрической фигурой? Можно ли через точку $A$ провести окружность сколь угодно малого радиуса так, чтобы эта окружность имела хотя бы одну общую точку с исходной геометрической фигурой? Ответы обосновать.

  3. Катя иногда купает свою шиншиллу в песке, а хорька в воде. При этом купание шиншиллы происходит через 3--5 купаний хорька. За несколько месяцев Катя искупала своих питомцев в общей сложности 28 раз. Сколько раз за это время она могла искупать шиншиллу?

  4. Часть графика линейной функции $y = kx + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения в 2 раза модуля $b$ площадь треугольника в 2 раза уменьшилась. Как при этом изменилось значение $k$?

  5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на 2.

  6. Дан угол $A_1 O A_2$. Построим угол $A_1 O A_3$, биссектрисой которого является $O A_2$, затем угол $A_1 O A_4$, биссектрисой которого является $O A_3$, и т.д. Всегда ли $n$-й луч $O A_n$ не будет совпадать ни с одним из предыдущих? Если совпадение в каком-то случае возможно, приведите соответствующий пример.

  7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Если один из указателей на некотором столбе отвалится, то при каком минимальном количестве указателей нам будет достаточно информации, чтобы вернуть указатель на столб в исходное место, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $6 + 15 + 24 + \dots + 2976 + 2985 + 2994 + 1000$.
    Решение:
    Числа до последнего слагаемого $2994$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = 15 - 6 = 9$. Первый член $a_1 = 6$, последний член определяется из уравнения:
    $a_n = 6 + (n-1) \cdot 9 = 2994$
    $9(n-1) = 2988 \implies n-1 = 332 \implies n = 333$
    Сумма прогрессии:
    $S_{333} = \frac{(6 + 2994) \cdot 333}{2} = \frac{3000 \cdot 333}{2} = 1500 \cdot 333 = 499\,500$
    Добавим последнее слагаемое $1000$:
    Итоговая сумма: $499\,500 + 1000 = 500\,500$.
    Ответ: 500\,500.
  2. Что означает фраза «точка $A$ не находится внутри геометрической фигуры»? Может ли существовать окружность, которая проходит через точку $A$ и имеет бесконечное количество общих точек с исходной геометрической фигурой? Можно ли через точку $A$ провести окружность сколь угодно малого радиуса так, чтобы эта окружность имела хотя бы одну общую точку с исходной геометрической фигурой?
    Решение:
    1. Точка $A$ не внутри фигуры $\implies$ $A$ принадлежит границе или внешности фигуры.
    2. Да, если сама окружность является частью фигуры (например, граница круга) и содержит $A$.
    3. Да, если $A$ принадлежит границе фигуры или предельной точке. Тогда окружность малого радиуса с центром в точке $A$ пересечет фигуру. Если $A$ вне фигуры и не является предельной точкой — нет.
    Ответы:
    1. Точка на границе или вне фигуры.
    2. Да, если фигура содержит окружность, проходящую через $A$.
    3. Да, если точка $A$ лежит в замыкании фигуры.
  3. Катя иногда купает свою шиншиллу в песке, а хорька в воде. При этом купание шиншиллы происходит через 3--5 купаний хорька. За несколько месяцев Катя искупала своих питомцев в общей сложности 28 раз. Сколько раз за это время она могла искупать шиншиллу?
    Решение:
    Пусть шиншилла купалась $x$ раз. Тогда между ними было $x-1$ промежутков, в каждом из которых 3--5 купаний хорька. Общее количество купаний:
    $3(x-1) \leq (28 - x) \leq 5(x-1)$
    Решим систему:
    $3x - 3 \leq 28 - x \implies 4x \leq 31 \implies x \leq 7.75$
    $28 - x \leq 5x - 5 \implies 33 \leq 6x \implies x \geq 5.5$
    Возможные целые $x = 6$ или $7$.
    Проверка:
    Для $x = 6$: купаний хорька $28 - 6 = 22$, промежутков $5$. Например, сумма пяти чисел $\geq 15$ и $\leq 25$: $3$ возможных распределений (например, $5 + 5 + 5 + 4 + 3$).
    Для $x =7$: купаний хорька $21$, промежутков $6$. Сумму можно представить как $3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 = 21$.
    Ответ: 6 или 7 раз.
  4. Часть графика линейной функции $y = kx + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После увеличения в 2 раза модуля $b$ площадь треугольника в 2 раза уменьшилась. Как при этом изменилось значение $k$?
    Решение:
    Точки пересечения с осями: $(-\frac{b}{k}, 0)$ и $(0, b)$. Площадь первоначального треугольника:
    $S = \frac{1}{2} \cdot \left|\frac{b}{k}\right| \cdot |b| = \frac{b^2}{2|k|}$.
    После увеличения $|b|$ в 2 раза:
    $S_{\text{нов}} = \frac{(2b)^2}{2|k_{\text{нов}}|} = \frac{4b^2}{2|k_{\text{нов}}|} = \frac{2b^2}{|k_{\text{нов}}|}$.
    По условию $S_{\text{нов}} = \frac{S}{2} \implies \frac{2b^2}{|k_{\text{нов}}|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b^2}{2|k|} \implies |k_{\text{нов}}| = 4|k|$.
    Ответ: модуль коэффициента $k$ увеличился в 4 раза.
  5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не менее, чем на 2.
    Решение:
    Условие: $| |x| - |y| | \geq 2$. Рассмотрим четыре квадранта:
    • I квадрант ($x \geq 0, y \geq 0$): $x - y \geq 2$ или $y - x \geq 2$.
    • II квадрант ($x < 0, y \geq 0$): $-x - y \geq 2$ или $y + x \geq 2$.
    • III квадрант ($x < 0, y < 0$): $-x - (-y) \geq 2$ или $-y - (-x) \geq 2$.
    • IV квадрант ($x \geq 0, y < 0$): $x - (-y) \geq 2$ или $-y - x \geq 2$.
    График состоит из областей вне полосы между $y = x + 2$ и $y = x - 2$ (и аналогичных симметричных полос в других квадрантах).
  6. Дан угол $A_1 O A_2$. Построим угол $A_1 O A_3$, биссектрисой которого является $O A_2$, затем угол $A_1 O A_4$, биссектрисой которого является $O A_3$, и т.д. Всегда ли $n$-й луч $O A_n$ не будет совпадать ни с одним из предыдущих? Если совпадение в каком-то случае возможно, приведите соответствующий пример.
    Решение:
    Возьмём начальный угол $A_1 O A_2$ равным $180^\circ$. Тогда луч $OA_3$ делит его пополам ($90^\circ$), луч $OA_4$ делит $45^\circ$ пополам ($22,5^\circ$) и т.д. Лучи не совпадают. Однако если выбрать начальный угол бесконечно малый, например, $360^\circ / n$, где $n$ таково, что после нескольких делений угол становится кратен исходному. Пример: угол $A_1 O A_2 = 120^\circ$. Луч $OA_3$ делит угол на $60^\circ$, $OA_4$ делит угол $60^\circ$ на $30^\circ$, который через $12$ шагов вернётся к исходному углу $120^\circ$ (не совпадёт). Всегда при делении углов пополам лучи не совпадают.
    Ответ: Нет совпадений. Пример: угол $180^\circ$ делится на бесконечные доли, но лучей не совпадают.
  7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Если один из указателей на некотором столбе отвалится, то при каком минимальном количестве указателей нам будет достаточно информации, чтобы вернуть указатель на столб в исходное место, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба?
    Решение:
    Минимальное количество указателей — 3. С фотографии известны направления и расстояния до трёх городов. Используя триангуляцию по двум оставшимся указателям, можно восстановить положение столба. Если указателей два, возможно неоднозначное решение (пересечение двух окружностей может дать две точки).
    Ответ: 3 указателя.
Материалы школы Юайти