ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2019 год вариант ФМШ 2019-08-1

ФМШ МИЭМ

2019 год

Вариант ФМШ 2019-08-1

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $1 + 9 + 18 + 27 + 36 + \dots + 2997$. (Автор задачи: Николай Дмитриев, 8 класс, Москва.)
2. Что означает фраза «точка $A$ находится внутри геометрической фигуры»? Может ли существовать окружность, которая проходит через точку $A$ и имеет бесконечное количество общих точек с исходной геометрической фигурой? Можно ли через точку $A$ провести окружность сколь угодно большого радиуса так, чтобы эта окружность не имела общих точек с исходной геометрической фигурой? Ответы обосновать.
3. Миша иногда купает своего хомячка в песке, а морскую свинку в воде. При этом купание морской свинки происходит через 5–7 купаний хомячка. За несколько месяцев Миша искупал своих питомцев в общей сложности 32 раза. Сколько раз за это время он мог искупать морскую свинку?
4. Часть графика линейной функции $y = kx + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в 2 раза модуля коэффициента $k$ площадь треугольника в 4 раза увеличилась. Как при этом изменилось значение $b$?
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не более, чем на 2.
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.д. Может ли возникнуть ситуация, когда $n$-й луч $OA_n$ совпадет с каким-то из предыдущих? Если да, то приведите соответствующий пример.
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Если все указатели, кроме одного, на некотором столбе будут указывать в неправильную сторону, то при каком минимальном количестве указателей мы сможем определить, какой из указателей некорректен, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба?
   

Решения задач

1. Установите закономерность чисел следующего ряда и вычислите его сумму: $1 + 9 + 18 + 27 + 36 + \dots + 2997$.
   Решение: Начальные члены ряда после 1 образуют арифметическую прогрессию с шагом 9: $9 = 9 \cdot 1$, $18 = 9 \cdot 2$, $27 = 9 \cdot 3$, ..., $2997 = 9 \cdot 333$.
   Сумма ряда можно представить как: \[ 1 + 9 \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 333) \] Для суммы арифметической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{333} k = \frac{333 \cdot 334}{2} = 55611 \] Тогда полная сумма: \[ 1 + 9 \cdot 55611 = 1 + 500499 = 500500 \] Ответ: 500500.
   
   
2. Что означает фраза «точка $A$ находится внутри геометрической фигуры»? Может ли существовать окружность, которая проходит через точку $A$ и имеет бесконечное количество общих точек с исходной геометрической фигурой? Можно ли через точку $A$ провести окружность сколь угодно большого радиуса так, чтобы эта окружность не имела общих точек с исходной геометрической фигурой?
   Решение:
   • Точка внутри фигуры – точка, окруженная фигурой (не лежит на границе).
   • Да: например, для круга окружность с центром на границе исходной фигуры будет иметь бесконечное пересечение.
   • Да: окружность большого радиуса с центром вне фигуры не пересекается с ней.
   Ответ: Да, да.
   
   
3. Миша иногда купает своего хомячка в песке, а морскую свинку в воде. При этом купание морской свинки происходит через 5–7 купаний хомячка. За несколько месяцев Миша искупал своих питомцев в общей сложности 32 раза. Сколько раз за это время он мог искупать морскую свинку?
   Решение: Пусть купаний морской свинки – $k$. Тогда купания хомяка: $32 - k$. Между каждыми двумя купаниями свинки должно быть от 5 до 7 купаний хомяка: \[ 5(k-1) \leq 32 - k \leq 7(k-1) \] Решение неравенств: \[ 4.57 \leq k \leq 5.8 \quad \Rightarrow \quad k = 5 \] Проверка при $k=5$: $32 - 5 = 27$, интервалов между свинками – 4, допустимый диапазон: $20 \leq 27 \leq 28$ – подходит. Ответ: 5.
   
   
4. Часть графика линейной функции $y = kx + b$ вместе с осями координат образует треугольник. После уменьшения в 2 раза модуля коэффициента $k$ площадь треугольника в 4 раза увеличилась. Как при этом изменилось значение $b$?
   Решение: Площадь исходного треугольника: \[ S = \frac{b^2}{2|k|} \] После изменения $k \to \frac{|k|}{2}$: \[ S' = \frac{b_{\text{нов}}^2}{2 \cdot \frac{|k|}{2}} = \frac{b_{\text{нов}}^2}{ |k|} \] По условию $S' = 4S$: \[ \frac{b_{\text{нов}}^2}{|k|} = 4 \cdot \frac{b^2}{2|k|} \quad \Rightarrow \quad b_{\text{нов}}^2 = 2b^2 \quad \Rightarrow \quad b_{\text{нов}} = b\sqrt{2} \] Ответ: Увеличилось в $\sqrt{2}$ раз.
   
   
5. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, модули координат которых отличаются не более, чем на 2.
   Решение: Условие $||x| - |y|| \leq 2$ эквивалентно $-2 \leq |x| - |y| \leq 2$. Область между линиями $|y| = |x| + 2$ и $|y| = |x| - 2$. Ответ: График в виде «ромба» с вершинами в точках $(2,0)$, $(0,2)$, $(-2,0)$, $(0,-2)$ и параллельных им линий.
   
   
6. Дан угол $A_1OA_2$. Построим угол $A_1OA_3$, биссектрисой которого является $OA_2$, затем угол $A_1OA_4$, биссектрисой которого является $OA_3$, и т.д. Может ли возникнуть ситуация, когда $n$-й луч $OA_n$ совпадет с каким-то из предыдущих?
   Решение: Да. Пример: исходный угол – 180°. При последовательном делении углов пополам луч $OA_3$ совпадет с $OA_1$ через три шага. Ответ: Да, например, при угле 180°.
   
   
7. В разных местах Земли установлены столбы с указателями, на которых приведены названия городов и расстояния до них. Если все указатели, кроме одного, на некотором столбе будут указывать в неправильную сторону, то при каком минимальном количестве указателей мы сможем определить, какой из указателей некорректен, при условии, что у нас есть только карта местности и фотография столба?
   Решение: Минимальное количество – 3. Сравнив расстояние от столба до всех обозначенных точек с картой, можно определить ложное направление. Ответ: 3.