8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

ФМШ МИЭМ из 7 в 8 класс 2018 год вариант ФМШ 2018-II-08-2

Сложность:
Дата экзамена: 2018
СкачатьПечать
youit.school ©

ФМШ МИЭМ


2018 год


Вариант ФМШ 2018-II-08-2



  1. Решите уравнение: \[ \frac{|x|}{\frac{|x| + \tfrac{x}{2}}{2}} + x - \frac{\frac{|x|}{2} - x}{2} - |x| = 1. \]

  2. Что такое геометрическая фигура? Является ли прямая геометрической фигурой? Образуют ли две геометрические фигуры новую геометрическую фигуру? Ответы обосновать.

  3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее идущего Димы. Расстояние от дома Насти до школы в 2 раза больше, чем от дома Димы до школы. Какую часть пути Настя прошла до встречи с Викой, если она и Дима вышли из дома в одно время и подбежали/подошли к школе также одновременно?

  4. Найдите 2 числа, первое из которых в 3 раза меньше утроенной четверти второго числа, от которого отняли 1, а второе в 2 раза больше удвоенной трети первого числа, к которой прибавили 2.

  5. В прямоугольный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон исходного треугольника. Как соотносятся площади данных треугольников? Как может измениться соотношение площадей, если исходный треугольник будет не прямоугольным, а произвольным?

  6. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых лежит между числом, делящимся без остатка на 5, и числом, на единицу его большим.

  7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 154, но не делятся ни на 21, ни на 35? Ответ обосновать.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Решите уравнение: \[ \frac{|x|}{\frac{|x| + \tfrac{x}{2}}{2}} + x - \frac{\frac{|x|}{2} - x}{2} - |x| = 1. \] Решение: Рассмотрим два случая: \(x \geq 0\) и \(x < 0\). Первый случай: \(x \geq 0\). Тогда \(|x| = x\). Упростим выражение: \[ \frac{x}{\frac{x + \frac{x}{2}}{2}} + x - \frac{\frac{x}{2} - x}{2} - x = \frac{x}{\frac{3x}{4}} + x - \frac{-\frac{x}{2}}{2} - x = \frac{4}{3} - \left(-\frac{x}{4}\right) = \frac{4}{3} + \frac{x}{4} = 1 \] Отсюда \(\frac{x}{4} = -\frac{1}{3}\). Противоречие (\(x \geq 0\)), решений нет. Второй случай: \(x < 0\). Тогда \(|x| = -x\). Упростим выражение: \[ \frac{-x}{\frac{-x + \frac{x}{2}}{2}} + x - \frac{\frac{-x}{2} - x}{2} - (-x) = \frac{-x}{\frac{-x}{4}} + x - \frac{-\frac{3x}{2}}{2} + x = \frac{-x \cdot 4}{-x} + x + \frac{3x}{4} + x = 4 + 2x + \frac{3x}{4} = 1 \] Собирая слагаемые: \[ 4 + \frac{11x}{4} = 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{11x}{4} = -3 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{12}{11} \] Проверка: \(x = -\frac{12}{11}\) удовлетворяет условию \(x < 0\). Подстановкой в исходное уравнение подтверждается решение. Ответ: \(-\frac{12}{11}\).
  2. Что такое геометрическая фигура? Является ли прямая геометрической фигурой? Образуют ли две геометрические фигуры новую геометрическую фигуру? Ответы обосновать. Решение:
    1. Геометрическая фигура — множество точек плоскости или пространства.
    2. Прямая — бесконечное множество точек, расположенных на одной линии, следовательно, является геометрической фигурой (определение Евклида).
    3. Две геометрические фигуры образуют новую фигуру как объединение своих точек (по определению операции над множествами). Например, пересечение или объединение круга и квадрата формируют новую фигуру. Ответ: Да, прямая является геометрической фигурой; две фигуры образуют новую.
  3. Настя идёт в школу в 2 раза медленнее Димы. Но если она по пути встретит Вику, то вместе они побегут в 3 раза быстрее идущего Димы. Расстояние от дома Насти до школы в 2 раза больше, чем от дома Димы до школы. Какую часть пути Настя прошла до встречи с Викой, если они подошли к школе одновременно? Решение:
    Обозначим скорость Димы за \(v\), тогда скорость Насти \(\frac{v}{2}\). Скорость Насти и Вики вместе: \(3v\). Пусть \(S\) — расстояние от Димы до школы. Тогда Насте нужно пройти \(2S\). Время Димы на путь: \(t = \frac{S}{v}\). Настя до встречи с Викой прошла \(x \cdot 2S\) и потратила время \( \frac{x \cdot 2S}{\frac{v}{2}} = \frac{4xS}{v} \). После встречи с Викой оставшийся путь \( (1 - x)2S \) они пробежали за время \( \frac{(1 - x)2S}{3v}\). Общее время равно времени Димы: \[ \frac{4xS}{v} + \frac{(1 - x)2S}{3v} = \frac{S}{v} \quad \Rightarrow \quad 4x + \frac{2(1 - x)}{3} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{10} \] Ответ: \(\frac{1}{10}\).

  4. Найдите 2 числа, первое из которых в 3 раза меньше утроенной четверти второго числа, от которого отняли 1, а второе в 2 раза больше удвоенной трети первого числа, к которой прибавили 2. Решение:
    Пусть первое число — \(a\), второе — \(b\). Составим уравнения: \[ a = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4}b - 1 \right), \quad b = 2 \left( \frac{2}{3}a + 2 \right) \] Упростим: \[ a = \frac{1}{4}b - \frac{1}{3}, \quad b = \frac{4}{3}a + 4 \] Подставим второе уравнение в первое: \[ a = \frac{1}{4}\left(\frac{4}{3}a + 4\right) - \frac{1}{3} = \frac{a}{3} + 1 - \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad a = \frac{a}{3} + \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad a = 1 \] Тогда \(b = \frac{4}{3} \cdot 1 + 4 = \frac{16}{3}\) Ответ: \(1\) и \(\frac{16}{3}\).
  5. В прямоугольный треугольник вписан другой треугольник таким образом, что его вершины лежат на серединах сторон исходного треугольника. Как соотносятся площади данных треугольников? Решение:
    Треугольник, соединяющий середины сторон (средние линии) исходного треугольника, подобен исходному с коэффициентом \(\frac{1}{2}\). Площадь уменьшается в \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \). Для произвольного треугольника соотношение сохраняется: средние линии образуют подобный треугольник с тем же коэффициентом подобия \(\frac{1}{2}\) и площадью в \(\frac{1}{4}\) от исходной. Ответ: \( S_{\text{вписанного}} = \frac{1}{4} S_{\text{исх}} \). Для любого треугольника соотношение остаётся таким же.
  6. Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты которых являются противоположными числами, разность которых лежит между числом, делящимся без остатка на 5, и числом, на единицу его большим. Решение:
    Координаты точек: \((a; -a)\). Разность \(a - (-a) = 2a\). Условие: \(5k < 2a < 5k + 1\) для некоторого целочисленного \(k\). Тогда: \[ 5k < 2a < 5k + 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{5k}{2} < a < \frac{5k + 1}{2} \] На плоскости это объединение горизонтальных полос между линиями \(a = \frac{5k}{2}\) и \(a = \frac{5k + 1}{2}\) для всех целых \(k\). Ответ: Полосы между \(a = \frac{5k}{2}\) и \(a = \frac{5k + 1}{2}\) при целых \(k\).
  7. Сколько существует натуральных чисел, не превышающих 10000, которые делятся на 154, но не делятся ни на 21, ни на 35? Решение:
    154 = \(2 \cdot 7 \cdot 11\). Числа делятся на 154 ⇒ они могут делиться на 21 (\(3 \cdot 7\)) или 35 (\(5 \cdot 7\)). Найдем количество чисел, делящихся на 154, но не содержащих делители 3 и 5. Общее количество кратных 154: \(n_1 = \left\lfloor \frac{10000}{154} \right\rfloor = 64\) (154 × 64 = 9856). Исключим числа, кратные НОК(154, 21) = 462 (поскольку 154 = 2·7·11, 21 = 3·7 ⇒ НОК = 2·3·7·11 = 462). Их количество: \(n_2 = \left\lfloor \frac{10000}{462} \right\rfloor = 21\). Исключим числа, кратные НОК(154, 35) = 770 (НОК = 2·5·7·11). Их количество: \(n_3 = \left\lfloor \frac{10000}{770} \right\rfloor = 12\). Учтем пересечение НОК(154, 21, 35) = 2310. Таких чисел: \(n_4 = \left\lfloor \frac{10000}{2310} \right\rfloor = 4\). По формуле включений-исключений: \[ N = 64 - 21 - 12 + 4 = 35 \] Ответ: 35.
Материалы школы Юайти